三角形内角和是多少度 三角形内角和一定是 180°吗？

如果有人问你“三角形内角之和是多少？”你肯定会不假思索地告诉他:“180！”

如果有人说不是180度，那你可以认为他无知。

其实“三角形内角之和为180”只是欧氏几何中的一个定理。也就是说，在欧几里德的研究中，三角形内角之和是180，但如果跳出欧几里德的研究，三角形内角之和不一定是180！

比如栗子，地球的赤道，0度的经度和90度的经度相交形成一个“三角形”。这个三角形的三个角应该是90，它们的和是270！

你觉得奇怪吗？你知道除了欧几里德还有多少其他的研究吗？这些研究被称为非欧几里得研究。

欧洲的多少钱

想探索非欧洲人，首先要了解欧洲人。欧几里德指的是古希腊数学家欧几里德根据《多少原始著作》构造了多少个研究。有时候只指飞机上的号码，也就是飞机上的号码。数学老师上课教的是欧式。它有以下简单的正义:

1.两个随机点可以用一条直线连接起来。

2.随机线段可以无限延长成直线。

3.给定一条随机线段，以一个端点为圆心，线段为半径，可以做一个圆。

4.所有直角都是全等的。

5.如果两条直线都绑定到第三条直线上，并且同一侧的内角之和小于两个直角之和，那么两条直线必须绑定在这一侧。

这五个“显而易见”的正义是位面的基石，我们也依靠这些正义来扼杀许多问题。但是聪明的你发明了第五公设(平行公设)吗？与前面四个公设相比，叙事冗长，没有那么明显，有悖于数学简洁的美感？

在《多少原件》中，证明了前28个命题对这个公设是无用的，这自然引起人们考虑这个啰嗦的公设是否可以由其他正义公设引入，即平行公设可以是多余的。

有多少罗切斯出生了

所以有数学家提出，第五公设可以看作定理，而不是公设。能否依靠前四公设来证实第五公设？这是发展史上最著名的一次，关于“平行线的做法”争论了两千多年。

由于第五公设的确认问题一直没有解决，人们逐渐怀疑确认的方式是错误的。第五公设可以证明吗？

18世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在确认第五公设的过程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的父亲“老罗”，也用一生的时间来讨论第五公设的确认，但没有结果。老罗曾告诫儿子“罗晓”:“你不要搞第五正义。我这辈子一直在讨论，但一直没想出来。这简直是数学家的噩梦。”

然而小罗并没有听从父亲的建议。他提出了一个与欧几里得平行公理相冲突的命题，“如果你超越了一条直线，你最多可以做出两条直线和已知的直线”，并用它来代替第五公设，然后与欧几里得数的前四公设结合，形成一个公理体系，开启一系列推理。他觉得如果基于这个体系的推理有冲突，那就证明第五公设。我们知道，这是数学上的反证。

罗氏或多或少符合双曲面模具

但在他极其细致深入的推理过程中，他想出了一个又一个直觉上奇怪，但逻辑上没有争议的命题。最后，罗巴切夫斯基得出了两个重要结论:

第一，第五公设无法证明。

其次，在新司法体系中开启的一系列推论，获得了一系列逻辑上不矛盾的新定理，形成了新的实践体系。这个实践体系和欧几里得主义的实践体系一样完整而严谨。

左:欧洲的多少钱？对:罗氏多少钱

这种多国学被称为罗巴切夫斯基多国学，简称洛巴切夫斯基几何，也是我们发明的第一种非欧洲多国学。

罗氏的司法体系和欧几里德的司法体系的区别只是将欧几里德的“能且只能使一条直线平行于一条已知直线”的平行司法替换为“最多能使两条直线平行于这条直线”，其余的司法基本相同。由于平行正义的发散，演绎推理产生了一系列不同于欧氏学习的新命题。

聪明的你本可以发明，而这些命题与我们的直觉相矛盾。但数学家认为并提出，我们可以用我们习惯的方式，做出直观的“模型”来证明其正确性。

准球面

1868年，意大利数学家伯特兰米发表了一篇著名的论文《解释非欧度的一种尝试》，证明了非欧度可以在欧几里得空之间的曲面上实现(例如准球面)。他发明了这里三角形的三个内角之和小于180，相当于给罗氏找到了一个实用的模型。

被誉为当时“数学王子”的高斯也发明了第五公设不可证，同时还参与了非欧研究的研究。但高斯担心这种做法会受到当时教会力量的攻击和毒害，不敢在地下发布自己的研究成果。他只在信中向同事们展示了自己的见解，但并不支持罗巴切夫斯基的地下新实践。

黎曼学了多少

那么，既然可以把5000米改成“过一点，平行于已知直线的直线很多”，那么是否也可以改成“过一点，没有平行于已知直线的直线”？

因此，有一个叫黎曼的智者，他结合了欧式的前四公里和“越过一点，没有一条直线与已知的直线平行”创造了自己的数——黎曼。例如，在球面上，通过直线外的一点画出的直线必须与已知直线相交。所以黎曼也叫椭球。

# #有人能说地球上的平行线是平行的吗？！但要注意的是，曲率打开后纬度是弯曲的，纬度上任意两点之间最短的连线不是纬度本身，赤道除外。球面上的直线只需要一个大圆。##

黎曼已广泛应用于导航。地球本身是弯曲的。如果套用欧式，只会得到错误的判断。

信用:bilibili肉兔

现代黎曼主义对广义相对论作了重要的运用。爱因斯坦广义相对论中空之间的数是黎曼数。在广义相对论中，爱因斯坦放弃了时间空均匀性的思想，他觉得时间空是弯曲的，和黎曼的学习背景一模一样。正因为如此，爱因斯坦在看到罗巴切夫斯基和黎曼的发明后欣喜若狂。他终于找到了解释相对论的数学工具。

数学的意义在于它往往领先于其他科学。我们可以认为其他科学通过数学研究提供了很多帮助。

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