点关于直线的对称点公式 一类点关于直线对称的秒杀法——几何法

今天我们讲解习题，在同一个试卷中，关于直线的对称性有两点。

这两个练习涉及点关于直线的对称性，我们用来求点关于直线的对称性的方法是构造方程:两条直线垂直，即斜率的乘积等于-1；两点的中点在对称轴线上。根据对称轴有两点的垂直平分线。方法固定简单，学生反应复杂。当然可以选择背公式，但是公式的复杂度并不低于运算的复杂度。所以强调学生通过解方程求对称点。

但是我发现这两个问题中对称轴线的斜率是1或者-1。当然，这不是偶然的。在解决点关于线对称的问题时，这样的对称轴往往很容易出现，也许是因为这样的线比较容易计算。

当然，我们也可以选择平移坐标轴，使直线成为一个或三个象限的平分线或者两个或四个象限的平分线。这个方法我就不解释了，今天重点讲另一个方法:构造一个正方形。

这种思维来源于这样一个事实:在上课的过程中，我向学生强调，构造方程的基础是两条对称轴的垂直平分线。垂直分裂？一个正方形瞬间出现在我的脑海里，正方形的对角线互相垂直，于是我借助图形快速完美地解决了这类问题。

以第一个标题为例:

很容易看出来，

接下来，我们构建一个正方形。

其他几点呢？用这种方法能找到对称点吗？

我们选择一个不在坐标轴上的点来尝试，

如图:

显然可行，我们用上面的方法找出对称轴斜率为1的情况，以及更一般的情况:

试着再做一遍第一题2，看你能不能掌握这个方法。

这里需要注意的是，这种方法只能解决对称轴斜率为1或-1的情况，其他没有影响。例如，让我们看一条对称轴斜率为2:

显然，如果我们像上诉法那样画一个图形，它就是一个矩形。因为对角线和矩形边的夹角不是45°，所以不是正方形。也就是说，虽然我们可以很容易的找到其他点的坐标，但是它不是垂直的，所以不能对称。

而我们想要得到对称点，就必须保证垂直分割，也就是说，我们必须做出一个正方形，如下图所示:

需要与对称轴成45°的直线。显然，做一条直线并不容易，交点的坐标也不容易找到。因此，该方法适用于对称轴斜率为1或-1的情况，这在求解点相对于直线的对称性时很常见。