拉玛努金恒等式中国的拉马努金：不为人知的传奇数学家刘治国

作者|林

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2015年，在准备数论中平方和的历史总结时，作者第一次了解到刘志国教授的杰出工作。后来我特意在网上查了他的资料，才知道他是一个历尽艰辛，成为自学成才的数学家。知道自己在华东师范大学数学系任教，笔者特地委托上海交通大学的朋友崔吉峰博士去拜访刘志国教授，并做了笔录。2017年2月，我的同事张瑞明教授邀请刘志国教授来我校访问。只有这样，作者才与刘娇寿有了密切的接触，对他有了更直观、更深刻的认识。

作者认为刘志国教授的经历对今天正在学习的学生来说绝对是一个鼓舞人心的传奇。接下来，让作者简单介绍一下刘志国教授，并与读者分享他对崔吉峰博士和我的采访(由刘志国教授亲自阅读)。

刘志国，华东师范大学数学系教授、博士生导师。1963年生于河南焦作武陟县，1979年16岁考入河南师范大学数学系，1983年毕业。曾在中学和新乡教育学院任教。工作之外，刘志国刻苦学习数学。一次偶然的机会，他接触到了印度天才数学家拉玛努扬的工作，刘志国从中得到启发，在函数、级数、数论等领域取得了丰硕的成果。，震惊了研究Ramanujan工作的国际专家。1998年，在英国数学家刘易斯博士的努力下，英国皇家学会授予刘志国“王宽城皇家学会研究奖学金”，仅授予学士学位，他出国留学一年。2001年至2003年，新加坡国立大学数学系曾恒发教授邀请刘志国访问合作。2003年，刘志国被华东师范大学数学系直接聘为教授。

刘志国教授的工作与拉玛努金的工作密切相关。众所周知，拉马努金的作品以富有创造性和难以理解而闻名。数学家哈代和塞尔对拉玛努金的工作进行了解读，但破译拉玛努金工作的数学家就更不关心了。与许多数学家留下的个人猜想不同，刘志国教授试图建立一种普遍的理论来解释拉玛努詹的许多奇妙公式的起源，并揭示相关数学领域的全貌。

一提到拉玛努金，刘娇寿就充满了崇拜，经常以“灵性”来评价拉玛努金的作品。当谈到自己的工作时，刘志国教授充满信心。刘娇寿说:“学习数学，要有长远的规划，不要急功近利，要有天下第一的思想，要开创自己的数学领域。”

刘娇寿认为，除了努力，很重要的一点是，他是一个单纯的数学人。他说做数学的乐趣无穷。他没有硕士和博士学位(1983年向山东大学潘承东教授申请硕士学位，1984年向云南大学申请硕士学位，1985年向北京大学丁教授申请硕士学位。可惜他的命运不好，竟然失败了三次)，确实给他造成了一些外在的损失，但刘娇寿并不在乎，因为他自信自己的定理可以传世。这让我们想起杜甫的那句名言:“一篇文章万古流芳”。

刘娇寿说，他本科时翻开数学书，发现书中的定理没有一个是以中国人的名字命名的，非常失望。从此，他决心创造自己的定理。刘娇寿没有忘记自己的初衷，一直做好数学，创造出精彩的定理。

回顾自己的求学之路，刘娇寿称之为“西学”。这个比喻真的很贴切。一方面，被称为“神人”的印度数学家拉玛努金的工作引导他寻找真理；另一方面，刘志国教授确实经历了艰难的时期。那一年连本科都没拿到的Lamanukin，得到了哈代的认可，被邀请到剑桥深造合作。在哈代的赞助下，拉马努金仅仅是一个绿灯，甚至被选为皇家学会的成员。从那以后，他被印度人视为学术偶像，甚至是国家的骄傲，最近他甚至成了神。

在数学成就上，刘志国教授并不适合与他的前任拉玛努金相提并论，但他的故事也启发了今天的年轻人，也值得我们理解。

刘志国教授访谈录

拜访林整理

面试时间:2015年9月9日13:00-16:10

参观地点:华东师范大学闵行校区数学系336室

因数学而改变命运

崔:你对中小学数学感兴趣吗？你从小就听过华、陈景润等数论家的故事吗？

刘:我喜欢在小学和中学学习数学，但我没有表现出很大的兴趣。我小时候听大人讲过一些华的故事。我只知道他是一位伟大的数学家，是我们国家和民族的骄傲，但我并没有真正理解他在研究什么。1977年上高中。上了高中之后，我知道了陈景润的故事。我很激动，也很自豪，觉得我们中国数学家很了不起。

崔:你在哪里读的本科，为什么选择数学？当时有没有吸引你的课程，为什么？有没有对你影响很大的老师或者书？有没有取得一些成绩？

刘:本科就读于新乡师范学院(1985年更名为河南师范大学)。1979年高考结束，成绩只能上普通大学。想申请去农科院学农学或者水利。然而，我的班主任穆博文和我的数学老师任中伟认为我有一些数学技能，并建议我申请新乡师范大学的数学专业。

大学的“复变函数”课程吸引了我，因为我发现留数理论可以用来计算实积分。基本方法是:先将待计算实函数的定积分转化为复函数沿闭环曲线的积分，再将留数基本定理转化为被积函数在闭环曲线孤立奇点上的留数计算。奇点为极点时，计算更简洁。

大学期间，我在《中学数学研究》(大二提交，大三出版)上发表了一篇关于数学教育的论文《一个特殊不合理方程的简单解法》，强调解方程时的参数化思想。现在看来，这可能不是什么大事，但在这种情况下，这是非常困难的。我也研究过一些高阶丢番图方程的公式求解问题，但是没有发表。我记得我的毕业论文讨论了一个解高阶丢番图方程的问题。

崔:你1983年本科毕业，1985年才在当地一所成人高校工作。中间两年做了什么？你从本科毕业就一直在隔离的环境里做研究。有没有取得什么成果，引起国内同行的关注？如何看待与外界的联系？中国有哪些教授对你影响很大？

刘:中间两年，在家乡的两所乡镇高中任教(武陟县北郭高中、格地甸高中，现已撤销)。毕业后的几年里，我对解析不等式、级数求和、偏微分方程求解做了一些初步的研究，在国内一些大学学报上发表了10多篇论文。从我现在的角度来看，有些结果很有意思，但是已经在国内一些普通期刊上发表过，所以没有引起太大的学术反响。

看了大量国外期刊论文，萌生了接触国外的想法。当然，当我开始接触国外的数学家时，我并没有把我的研究成果卖给他们。我写信给他们只是希望得到他们论文的打印件，因为我很难获得信息。

在我早期的数学研究中，有三本书对我影响最大:王竹溪和郭敦仁的《特殊函数导论》(科学出版社，1965年)，许立志和王兴华的《数学分析精选》(高等教育出版社，1984年)，乔治·波利亚和加博尔·szegő的《数学分析中的问题和定理》(张奠宙和宋·郭栋等。

崔:这是你人生的转折点吗，什么时候？

刘:我个人认为转折点是:

考上高中和大学。离开中学到新乡教育学院（现在已经并入新乡学院）工作，这所学校本身没有什么科研条件，但相对高中来讲课没有那么多，我可以抽出更多的时间考虑数学问题，而且也方便我去河南师大数学系资料室查阅资料。我非常感激当时河南师大数学资料室的两位资料管理员，她们像对待河南师大数学系的教师一样对待我，我在这里查资料的时间断断续续持续了五六年时间。看到伊利诺斯大学数学系 Bruce C. Berndt 教授在《美国数学月刊》发表的关于 Ramanujan 季度报告里中的 Ramanujan 主定理（Ramanujan’s master theorem）。在 Lewis 博士的努力下，我于 1998 年获得英国皇家学会研究奖学金并在英国访问一年，这标志着我开始逐渐融入研究 Ramanujan 遗留数学问题的学术圈。（Lewis 博士已经于 2007 年因病去世，享年 65 周岁，我到华东师大工作以后曾计划邀请他来华访问，可惜他因为身体问题未能成行）。当代杰出的数论专家，国际数学界研究圆周率的权威新加坡国立大学的曾衡发（Chan Heng Huat）教授给予了我极大的支持，曾于 2001 年 6 月至 2003 年 4 月邀请我到新加坡国立大学和他进行合作研究。新加坡访问期间巧遇我国著名的代数几何专家，华东师范大学谈胜利教授，谈教授慧眼识珠，将我引荐到华东师范大学。

和

我们有身份

我们有以下两个艾森斯坦级数恒等式:

我们有以下两个身份:

定义如下

然后，我们有以下两个θ函数恒等式:

那么我们有

函数乘积猜想导致德国数学家赫克创立了著名的赫克理论。塞尔解释了拉玛努詹的理论

给出了函数的同余公式

先进模具成型理论。在过去的100年里，数学中对罗杰斯-拉玛努詹恒等式的研究促进了数列和组合分析的发展。对他的仿函数猜想的研究是当今数学的热点之一。我觉得Ramanujan太热爱数学了，已经脱离了名利的羁绊。他把自己和数学融为一体，达到了天人合一的境界。他对公式的感觉已经到了出神入化的地步。如果你仔细挖掘，你会发现他的许多公式都包含着深刻的数学理论。如果用世俗的眼光和急功近利去解决所谓的Ramanujan之谜，我想不会有什么答案。

定义如下:

总是有相互的因素

是素数，那么有没有正整数

的q导数是它的普通导数

表示商数)；或比率；自雅可比以来，一直是椭圆函数论的标准标记；

(ii)是量子英语单词quantum的首字母，关于-导数的知识也叫量子微积分；

(iii)它还经常被用来表示有限域中的元素个数，从而暗示了它与组合论和数论的关系。

2欧拉五边形数定理:

在…里

是最接近的整数

之间的数字个数

和