平行线分线段成比例定理 角平分线分线段成比例定理

解题大赛原型题证明简述。

主题

如图，AE在E点平分BAD交叉△ABD的边BD，证明AB/AD = be/de。

方法1

根据角平分线的性质，两个高EF和EG相等，

△ABE的面积分别表示为AB和BE，

△δADE的面积分别以AD和DE为基数表示。

用S△ABE/S△ADE=AB/AD=BE/EG的面积比得出结论。

方法2

画一个外接圆，然后用三角形相似度得出结论。

首先证明了△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，

得到ab/DC = AE/de，ad/BC = AE/be，

变形的ab de = AE DC = AE BC = ad be，

那么ab/ad = be/de。

备注:做平行线有6种方法，分别是通过B点、D点或e点做平行线。

方法4

制作两条平行线:

及格点e是EF∑AB，EG∑AD，

容易得到的四边形AGEF是菱形的，那么ef = eg，

根据△BGE∽△EFD，

BE/DE=GE/DF=EF/DF，

然后根据△DEF∽△DBA，得到

EF/DF=AB/AD，

那么就可以得到ab/ad = be/de。

方法5

在AB上取一个点f，这样af = ad，连接EF，

f点做FG∑AD，g点做横AE，

根据同余，很容易得到ef = de，ef = af = ad。

≈AEF =≈AED =≈BEG，

然后≈AEB =≈AEF+≈BEF =≈BEG+≈BEF =≈FEG，

根据≈g =≈DAE =≈BAE，证明了△ABE≈△GFE。

那么ab/gf = be/Fe = be/de，

那么就可以得到ab/ad = be/de。

法律6

根据正弦定理:

AB/sin≈3 = BE/sin≈1，

那么ab/be = sin < 3/sin < 1，

AD/sin≈4 = DE/sin≈2，

ad/de = sin≈4/sin≈2，

因为≈1 =≈2，sin≈1 = sin≈2。

因为≈3+≈4 = 180，

所以sin≈3 = sin≈4，

因此ab/ad = be/de。

备注:证明正弦定理不难，可以简单的用面积关系或三角函数的定义来证明。

这个问题还有很多其他的解决方法。我们自己探索吧。