希尔伯特 广义相对论场方程诞生史：一场爱因斯坦与希尔伯特的究极竞赛

在20世纪前30年发生的影响深远的物理革命中，量子力学“对所有人来说都很容易”。狭义相对论可以说是一个“敲山震虎”。虽然两者差别很大，但似乎都是“地球照样转，没有人”。量子力学的命题继承了普朗克的“量子假说”，狭义相对论的命题是历史的必然。其目的是解决当时经典物理中已经暴露出来的矛盾，如以太危机，稳定物理大楼。

在与希尔伯特多次通信后，爱因斯坦于11月25日提出了广义相对论的最终场方程:

Guv是爱因斯坦张量；Ruv是黎曼张量凝聚而成的Ritchie张量，表示曲率项，表示空之间的弯曲度。r是由Ritchie张量凝聚而成的曲率标量；Guv是度量张量；Tuv是主动张量，表示物质的分布和运动。g是引力常数；c是光速的真空速度。整个方程的意义是:在空 =空之间物质的能量-动量分布的弯曲态。这个方程是一个二阶非线性张量方程。

希尔伯特于1915年11月20日提出了场方程。希尔伯特在哥廷根的皇家科学院发表了一篇关于引力理论的报告，并介绍了他的研究成果:

也就是说，虽然希尔伯特和爱因斯坦的形式不同，但他们都发现了正确的引力场方程，从而牛顿和莱布尼茨的微积分之战在300年前再次上演。

然而，尽管后人经常争论爱因斯坦和希尔伯特谁先到达，例如物理学家基普·索恩在他的著作《黑洞与时间扭曲:爱因斯坦令人发指的遗产》中明确表达了自己的观点:“值得注意的是，爱因斯坦并不是第一个发现翘曲定律正确形式的人。对第一个发现的认可必须归功于希尔伯特。”

爱因斯坦的传记作者阿尔布雷特·福尔辛认为，尽管爱因斯坦和希尔伯特独立地提出了正确的形式:

11月，当爱因斯坦完全专注于他的引力理论时，他基本上只和希尔伯特通信，把他的出版物发给希尔伯特，感谢他在11月18日写了他的文章草稿。爱因斯坦必须在写这封信之前立即收到这篇文章。爱因斯坦可以把注意力转向希尔伯特的论文吗？他发现了自己方程中仍然缺失的项，于是“借用”了希尔伯特？

尽管后人争论不休，希尔伯特本人还是非常慷慨地放弃了自己的功绩，向爱因斯坦表示祝贺:

“爱因斯坦提出了深刻的思想和独特的概念，并发明了巧妙的方法来处理它们。”

1915年12月4日，希尔伯特甚至提名爱因斯坦当选哥廷根数学学会会员。希尔伯特的慷慨让爱因斯坦非常感动。12月20日，爱因斯坦主动写信给希尔伯特，提出一个解决方案:

我们之间有些怨恨，不想再分析原因了。我与痛苦的感觉作斗争，并取得了成功。我再次以无微不至的善意想念你，我请求你也这样做。客观来说，如果从这个寒酸的世界里解放出来的两个人没有给对方带来幸福，那就太可惜了。

广义相对论的场方程提出了105年，历史给了他们最公正的评价。美国物理学家派斯在他著名的爱因斯坦传记《上帝是微妙的》中说:

基本方程的发现应该归功于爱因斯坦和希尔伯特。

这段话可以说是爱因斯坦和希尔伯特在发现引力场方程方面的成就的最终结论。无论如何，学术争鸣推动了科学的进步，广义相对论场方程的制定意义重大，被认为是科学界无尽的宝藏。许多科学家通过求解广义相对论的场方程获得了许多重要的理论。

像黑洞这样的特殊天体是通过求解场方程发现的。在广义相对论的场方程中，爱因斯坦使用了传统的直角坐标系，所以计算一个对称的、不旋转的、不带电荷的质量球只能给出一个近似解。但物理学家史瓦西却采取了不同的做法，他引入的坐标系与极坐标系相似，从而可以得到精确解。

这个精确解被命名为“史瓦西度量”，是广义相对论场方程的第一个精确解。

在此基础上，史瓦西发表了第二篇论文，给出了史瓦西解和黑洞视界半径的计算公式。所以黑洞的视界半径称为“史瓦西半径”，围绕上述天体的史瓦西半径处的假想球体称为视界。

简单来说，史瓦西设一个天体，其电荷为0，即电中性，角动量为0，即不旋转，其宇宙学常数也为0。这可以用来描述地球、太阳等自转缓慢的天体，但如果质量增加足够多，其逃逸速度将超过光速。这意味着没有任何东西可以逃离它的魔爪，所以它本身是看不见的。这个天体后来被惠勒命名为“黑洞”。

另外，一般相对论场方程的解是雷斯勒-诺德斯特龙度量，这种度量形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特龙黑洞；广义相对论中还有克尔度量，克尔度量或克尔真值空，它描述了围绕旋转的球对称大质量物体的真空区域的时间空几何......

作为广义相对论的中心方程，广义相对论的场方程有许多未知的奥秘等待我们去探索。