专b 小专研读:B-S公式的假设与简单推导

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布莱克-斯科尔斯期权定价模型最早是由费舍尔·布莱克和迈伦·斯克尔斯在1973年发表的一篇论文中提出的。为了纪念他们的发现，这种定价模式以他们名字的首字母命名，简称为B-S模式。布莱克-斯科尔斯期权定价模型的诞生奠定了现代期权理论的基础。B-S模型的推导是基于无风险套利机会的假设，避免了对个体风险偏好和市场均衡价格结构的有限假设，发展了期权定价的均衡模型。这种模式在海外期权和权证市场40年的发展中得到广泛的检验。

(一)B-S模型的假设我们将布莱克-斯科尔斯期权定价模型的假设列举如下:

1.股价过程遵循对数正态分布模式；

2.在期权有效期内，标的证券的无风险利率和波动率变量是不变的；

3.市场没有摩擦，即没有税收和交易成本，所有证券都是高度可分离的；

4.标的证券在期权有效期内没有股息和其他收入(放弃这一假设)；

5.允许使用所有获得的卖出空衍生证券；

6.期权是欧式期权，即期权到期前不能执行；

7.没有无风险套利机会；

8.证券交易是连续的；

9.投资者可以无风险利率借款。

(2)硼硫微分方程和硼硫公式

在上述假设下，我们对B-S模型的微分方程原理有一个描述性的理解:(1)衍生品和标的资产(股票)价格不确定性的来源是相同的；(2)类似二叉树期权定价模型的思想，通过构建股票和衍生品的组合来消除这种不确定性。

在B-S模型的假设下，股票的随机过程是:

s代表标的股票的价格，μ代表标的股票的漂移率，σ代表标的股票的波动率，Z代表均值为0、方差为t的标准布朗运动。

假设F是基于s的衍生证券的价格，根据著名的伊藤公式，我们有

如果我们构建一个投资组合，卖出一个衍生证券，同时买入

股票，那么整个投资组合的价值(用)就是:

因此，投资组合的价值变化如下:

投资证券组合

dZ的值变化只与时间dt有关，因此组合成功消除了DZ带来的不确定性。根据无套利定价原则，这个组合的收益率应该等于无风险利率r:

最后，得到以下微分方程:

根据公式1.1，依赖于标的资产s的衍生价格f应满足上述微分方程。如果加上欧式看涨期权的边界条件，

然后通过求解这个带有上述边际条件的微分方程(公式1.1)，得到著名的B-S欧式看涨期权定价公式:

其中，

c代表欧式看涨期权价格，其行权价格为k；选项对t有效；

是股票价格的年化波动率，即年化收益率的标准差；

是标准正态分布变量的累积概率分布函数。根据标准正态分布函数的特点，有

。

根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，基于Black-Scholes期权定价模型，可以很容易地得到欧式看跌期权的定价公式: