算术平方根，算术立方根呢？——斤式，初等数学的另一大障碍

“这篇文章适合所有知道根号的学生及学生家长、小学教师、中学教师。童心未泯的诺亚童们，青壮年，还有任何想再次学习初等数学的数学教育工作者。(莎士比亚)。

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平方，立方的数学概念其实在学生学十进制计数时就已有接触。10的平方(也叫二次方）是百，10的立方（也叫三次方）就是千，百的平方是万，万的平方是亿。所以，说学生在一年级就学了平方和立方也不为过。好玩的是（假如你不觉得奇怪），平方，立方的逆运算：开平方根和开立方根却要等到七年级的下半学期。这里先不管这个时间上的大跳越， 倒是由此也可以想象平方根，立方根应该是个非常困难的概念。

平方根的定义也不是那么可怕。你若问什么数的平方是百，大部分人稍有迟疑，也会答出：是10。据此，我们定义：100的一个平方根是10。是的，10只是一个100的平方根。那另一个是什么？ 对的，是 -10。由于负负得正，我们稍作思考也能领悟：除0以外，一个数的平方根应该是两个。那困难从哪里来？

我们来试着问个类似问题：什么数的平方是2？大部分成人可能没有迟疑就答出：是根号2， 或负的根号2。学生没听过根号2，我们也可以解释：因为没有整数的平方是2，所以我们就“造”个新数（或新记号）根号2来代表这个数。至于有关根号2的更多传说（比如，传说这是个没有道理的数---无理数），有精力可以去听听，没精力，就让它继续传说下去也无妨。对这些传说的不理解可能是学生害怕根式的原因之一。

根号2的传说

假如一个无理数没把你吓退，那我们继续。有什么数，它的平方是个负数吗？觉得这又是个传说？是的，我们以后的写作里再提起它---虚数，复数的概念可以由此引出。单是考虑数的平方根运算就会产生“无理数”和“复数”两个大概念，无疑，根式的引入对一般学生而言会是很大的挑战。

这里只考虑正数的平方根。

从上面的例子里，我们看到，对一个正数来说，它有两个平方根：一个是正，一个是负。由此，中文教科书上做如下定义。

平方根的定义

只看平方根的话，这个算术平方根的名词也没什么害处，无非就是指正数的正的平方根。但是，假如我们考虑一般的n-次根的话就有很多疑惑。比如你问我：算术立方根是什么？我就无言以对了。

我们来看看立方根的例子。你若问什么数的立方是千，大部分人还是会答出：是10。因此，我们定义：1000的立方根是10。还有别的立方根吗？ 你会摇头了。因为只有“一个”1000的立方根，好像就没必要引入“算术立方根”了。有没有算术4次根？好像也没地方提过。

把平方根和立方根做如此分类（一个有“算术”根，一个没有）并不是一个好的策略，反倒容易引起不必要的误解。 我们更提倡统一地称一个正数的“算术平方根”为“主平方根”（principal square root）。或简单地称为正平方根。也想提醒大家，英文里也不常见 “arithmetic square root”， 一般用 “principal square root”。

因为已经有关于根式的众多传说，我们不妨告诉学生多一个传说：任何一个非零的数都有n个不同的n-次根。不幸的是，你在实数域里也许一个都看不到。在学习了复数以后我们会定义任给的复数的n-次根，以及它的 “主n-次根”。我们会确定任何正数的“主n-次根”都是正数！因而中文教科书上的算术平方根就是主平方根。

有兴趣的读者可以在诸子数学第一册的第17章读到1和-1的所有4次方根（为大家的方便，列表如下）。

1和-1各有4个4次根

也许，告诉了学生任何数都有n个n-次根，大家反倒更坦然对待根式了。也许他们也更期待学习虚数和复数了。