1+1=2：数学的原点

1+1=2

这个最简单的公式，

就像是一场人类诞生的“简洁”庆典。

发现世界上最简单的公式1+1=2，意味着什么？

这个连三岁小孩都能秒懂的公式是人类文明诞生的起点，它昭示着自然数的诞生，引发持续数千年的数字大爆炸。数学创生的全部基本公理都蕴含其中。

而它究竟从何而来，又将引领人类向何而去？

人生识字忧患始，人类的所有烦恼，也是不是因为知道了1+1=2呢？

从老祖先开始追溯

早在远古时代，我们的老祖先就在储藏猎物、分配食物时，逐渐产生对数的感觉。

当2只牛、3只羊、5只猪摆在一块，只有这些东西可过冬时，强烈的求生欲使老祖先朦胧地意识到这其中有一种共性，并开始摆弄着自己仅有的10只手指计数。然而，从这种原始的抽象感觉到具体的“数”的概念的形成，却经历了极其漫长的历史岁月。

因此，当某位古代先祖第一个意识到“1+1=2”，从而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，就发现了“数学”一个非常重要的性质——可加性，这是人类文明史上一个极其伟大的时刻。

如同钻木取火，1+1=2的最初使用也仅是迫不得已地为了生存，两者同样至少有着30万年的历史，造福人类，但自然数的形成却远比火的诞生有深远影响。

1+1=2，关于这个公式，最直观涉及到的就是自然数和加法。

我们已经无法考证，加法究竟是在何时被人类发明的，因为没有足够详细的文献记录，甚至可能没有文字。但加法的出现，无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。

“＋”、“－”出现于中世纪。

据说，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉，于是就出现用以表示减少的“－”和用来表示增加的“＋”。最后直到1630年，“＋”作为运算符号才得到大家的公认。

而关于自然数的出现，却比“＋”、“－”开始地更早，大约在1万年以前，冰河退却了。石器时代，那些马背上的游牧狩猎者，在中东的山内悄悄地开始了一种新的生活。他们摒弃掉凶横猎杀的本性，开始乖乖下田，播种，进行农耕，这时，如何记录日期、季节，如何计算收藏谷物数、种子数可难为住了这群四肢发达的壮汉。

特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域，还发展起了更复杂的农业社会，这群刚进入新时代的农民还遇到了交纳租税的问题。显然，过去石器部落文化里总结的“一”、“二”、“三”、“多”已远远不够用了，人们迫切需要“数”有名称，而且计数必须更准确些。

然而，没有人见过自然数，也没有人知道它是怎么排列分布的。

它是用以计量事物的件数或表示事物次序的数，它的分布或许是兜兜转转一个圈，或许是螺旋交错缠绕式，或许是放射爆炸发散式的，不同选择就会有不同的数学世界。但最终数学世界最后选择的是图1-1“1、2、3、4、5……”这样一个不可逆的直线式的有序体系。

图1-1

如何巧用皮亚诺公理证明？

我们都知道1+1=2，但你是否有想过为什么1+1就等于2呢？

这个问题，不去深思还好，一深思就像鸡生蛋还是蛋生鸡这个难题一样，会把你绕得云里雾里，好在总会有那么几位具有哲学思维的数学家爱孜孜不倦地去思考、证明它。

而在这其中，意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面，用五条公理建立了一阶算术系统，可以用来推导出“1+1=2”这一数学世界的原点。

公理1：0是自然数。

茫茫的数学宇宙里，如图1-2所示，从此有了第一个身影存在——0。

图1-2

公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数。

那么，这个自然数起点“0”是怎么爆发的呢？后继陪伴者会以什么样的形式出现？调皮地围着0四处发散，或是偷偷地跑到0的后面，亦或是狠心地留0一个数在那？

公理2做出了选择，让偌大的数学空间中，出现的每个数都拥有着一个确定的后继数陪伴着自己，如图1-3：

图1-3

公理3：0不是任何自然数的后继数。

为了避免后继者不守规矩跑到0的跟前，公理3确定了0必须也只能是自然数的第一个数。但是防不胜防，这群后继者可能也没那么安分，他们还可能因为同一个姑娘争风吃醋。也就是说，有可能3的后继数3' = 3，也可能2的后继数2' = 3。如下图1-4，出现这种情况：

图1-4

公理4：不同的自然数有不同的后继数。

为避免上述情况，公理4赶忙着出来定义，如果n与m均为自然数且n ≠ m，那么n' ≠ m'；如果b、c均为自然数，且b' = c' ，那么b = c；同一个自然数的后继数相等，不同自然数的后继数不相等，这样，3就不可能既是2的后继数，也是3的后继数了。但如果出现图1-5里2.5这样的数呢？

图1-5

为了干掉2.5这样非自然数的出现，公理5冒泡了。

公理5：假定P(n)是自然数的一个性质，如果P(0)是对的，且假定P(n)是正确的，则P(n')也是真的，那么命题对所有自然数都为真。

它还有另外一种形式：设S是自然数集的一个子集，且满足(i)0属于S；(ii)如果n属于S，那么n'也属于S；则S是包含全体自然数的集合，即S = N。

这里的说法可能会有点“绕”，读者可能不是很理解。具体细剖，这是数学中的归纳公理，也就是说如果有一个自然数的性质，那么所有自然数都将满足这个性质，不满足的就不是自然数。这样，我们可以定义自然数系：存在一个自然数系N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理1-5。

再定义加法是满足以下两种规则的运算：

1. 对于任意自然数m，0 + m = m；

2. 对于任意自然数m和n，n' + m = (n + m)'。

这样，我们就可以证明1+1=2：

1 + 1 = 0' + 1 = (0 +1)' = 1' = 2；

或者，1 + 1 = 0' + 0' = 0'' = 2。

或者，因为1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3；又因为2的后继数也是3，根据皮亚诺公理4，不同自然数的后继数不同，所以1+1=2。

这样，根据皮亚诺五条公理建立起来的皮亚诺一阶算术系统，我们就推导出了1+1=2。

哥德巴赫猜想

另一个“（1+1）”

推导出1+1为什么等于2，并不能为难那些脑路清晰，异于常人的数学家们。怎么解决世间另一个“1+1”，这才是这群数学家的心头痛。

哥德巴赫猜想，是数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”，堪称世界近代三大数学难题之一。

大概在18世纪左右，德国一富家子弟哥德巴赫，厌倦了锦衣玉食的生活，不顾家人阻拦，偏要跑去一名中学教师，还从此一发不可收拾地爱上数学，就连晚上回家休息，也在捣鼓着阿拉伯数字。而他生平最喜欢玩的游戏竟是加法运算，而且还在玩加法游戏的过程中发现了一个奥妙：任何大于5的奇数都是三个素数之和。

但令他无奈的是，他越玩越失败，怎样也无法证明自己的发现。后来，只能求助于当时数学界的权威大咖欧拉。

1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出：任何大于5的奇数都是三个素数之和。随便取个奇数77，可写成三个素数之和，77=53+17+7；再任取一个奇数461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。

没想到独眼巨人欧拉居然也被这个问题给为难住了，1742年6月30日，欧拉给哥德巴赫回信：这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。为了挽回下自己居然也给不出证明的面子，狡猾的欧拉同时还提出了另一个等价命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但这个命题他也没能给予出证明。

而这样一个“任一充分大的偶数，都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数，与另一个素因子不超过b个的数之和”命题，就被统记作“a+b”，哥德巴赫猜想（也称哥德巴赫-欧拉猜想），也就被称为另一个“（1+1）”。

二进制世界里的1+1

在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆，有一份弥足珍贵的手稿，它的标题为：

“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”

这是德国天才大师莱布尼茨的手迹，他用几页异常精炼的描述，发明了一个神奇美妙的数字系统——二进制，他告诉我们，1 + 1 ≠ 2，在计算机代码世界里，1 + 1 = 10。

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。当前的计算机系统使用的基本上就是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。

可以说，从20世纪第三次科技革命爆发以来，人类就开始进入了计算机时代，我们在虚拟的网络里游戏、社交、狂欢。到现在21世纪，开始致力于人工智能的开发，而这些东西本质上都是由计算机实现的。

而未来，完全身处于数字时代的我们，必将被二进制代码全身笼罩，这个世界，1+1就只可能等于2吗？

结语

回到最初的原点

不管是现实生活中简明易懂的1 + 1 = 2，或是数论世界里令人绞尽脑汁的“1 + 1”，还是虚拟世界里的1+1=10，都以其自身的客观性和普适性在时间的岁月里不证自明，让人类能以其为始，在接受这些公式和定理的条件下，继续用理性的方法推导衍生出万事万物。并在万事万物中，能轻易地窥视其踪迹。

欲罢不能的王者荣耀是由0和1的代码编写运行；

置放苹果的天秤则完全满足可加性的量；

总质量总是等于每个物体的质量之和；

……

1+1=2撑起了人类理性世界的基本运转，跨越人类文明始终，不需要名称，不需要翻译，也不需要解释。

它无处不在，藏匿于天地之间，本身就拥有着妙不可言的美感。

来源：量子学派编辑：aki