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-1 0 3 12后面是什么看这里!最简形矩阵是什么?有什么用?如何将一个矩阵化为最简形矩阵?

最简单的矩阵一般是指行中最简单的矩阵。这是梯形矩阵。是线性代数的特定形式的矩阵。矩阵中第一个非零元素都是1,非0行中第一个元素1所在列的其馀元素都是0的矩阵。

如矩阵:[1,0,0,3; 0,1,0,-1; 0,0,1,4], 其中元素间用逗号分隔,行与行之间用分号分隔,下同。

最简形矩阵可以用来表示线性方程的解。矩阵的行数表示方程式的个数,列数表示每个方程式的项数,其中最右侧的列表示常数项,只有常数项在方程中等号的右侧。除了表示常数项的列,其余列的数量表示未知数的个数。比如3X4矩阵中,三行表示有三个方程构成的方程组,四列表示有三个未知数和一个常数项。同列元素表示现一个未知数在不同的方程式中的系数。那么把矩阵转化为最简形矩阵的过程,就是解方程的过程。比如关于x,y,z的三元一次方程组,把它们的系数和常数项表示为一个3X4矩阵,转化为行最简形矩阵后,得到[1,0,0,3; 0,1,0,-1; 0,0,1,4],那么方程组的解就是{x=3,y=-1,z=4}.

那么如何才能将矩阵化为最简形矩阵呢?可以利用矩阵的初等变换来实现。矩阵的初等变换包括:(1)对调两行;对应对调两个方程式的先后顺序,结果不变;(2)以非零数k乘以某一行的所有元素;对应某方程两边同时乘以非零的数k,结果不变;(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去;对应解方程组的加减法。

接下来以解四元一次方程组:{2a+3b+d=-4; 2b+2c+3d=-7; a+c+d=0; a+2b-c+3d=-12}为例,来讲解如何利用最简形矩阵解线性方程组,以及如何将矩阵转化为行最简形矩阵。这个方程组的系数构成的矩阵是:[2,3,0,1,-4; 0,2,2,3,-7; 1,0,1,1,0;1,2,-1,3,-12].

首先交换第1行和第3行,使第一行第一列的元素为1,得到:[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 2,3,0,1,-4;1,2,-1,3,-12].

然后第3行减第1行乘以2,第4行减第1行,把第一列除了第一个元素之外,都化为0,得到:[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 0,3,-2,-1,-4;0,2,-2,2,-12].

接下来可以用第2行乘以二分之一把第二行第二列的元素化为1,也可以用第2行减第4行乘以二分之一。因为前者会产生分数,造成运算的麻烦,所以选择后者,得到:​[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,3,-2,-1,-4;0,2,-2,2,-12].

用第3行减第2行乘以3,第4行减第2行乘以2,将第二列除了第二个元素之外,都化为0,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,-11,-7,-1;0,0,-8,-2,-10].

第3行除以-11,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11;0,0,-8,-2,-10].

第4行加第3行乘以8,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11;0,0,0,34/11,-102/11].

第4行乘以11/34,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,10/11;0,0,0,1,-3].

第3行减第4行乘7/11,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2;0,0,0,1,-3].

​第2行减第3行乘3再减第4行乘2,得到:[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2;0,0,0,1,-3].

最后第1行减第3行再减第4行,就得到最简形矩阵:​[1,0,0,0,1; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2;0,0,0,1,-3].

由此可以得到原方程组的解为:{a=1,b=-1,c=2,d=-3}.

你学懂了吗?

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