欧拉公式 10个最为酷炫的数学结论！欧拉公式只能排第四！

原作者，迈克尔阿尔巴。

译者，东奇肯，多多数学网翻译团队成员。

校对，小米。

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许多人害怕晦涩的符号和严格的数学规则。一旦他们看到一个问题中既有数字又有字母，他们就会轻易放弃。然而，尽管数学有时可能很难理解，但它能证明的结果有时可能是美丽的、不可思议的，或者只是意想不到的。例如，这些结果如下:

10.四色定理

四色定理最早是由弗朗西斯·格思里在1852年发现的。当时，他试图用英国所有的县(在互联网发明之前，根本没有可用的工具)来绘制一张地图。他发现了一个有趣的地方:他可以确保任何两个有共同边界的县都有不同的颜色，最多只有四种颜色。格思里想知道这个结论对于所有地图是否成立，这已经成为一个多年没有解决的有趣的数学问题。

直到1976年(一个多世纪后)，这个问题终于由肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)和沃尔夫冈·哈肯(Wolfgang Haken)解决了。他们的证明很复杂，依赖于计算机。它指出，在任何一张政治地图(例如一张有多个国家的地图)中，每个国家都是彩色的，这样颜色相同的国家就不相邻，只有四种颜色就足够了。

9.布劳威尔不动点定理

这个定理来源于数学的一个分支，叫做拓扑学，是Ruiz Brouwer发现的。虽然它的专业表达很抽象，但在现实世界中有很多引人入胜的应用。现在假设我们有一张图片(比如蒙娜丽莎)，然后我们带了一份。我们可以用这个副本做任何我们想做的事情，放大它，缩小它，旋转它，把它揉成一个球，等等。布劳威尔的不动点定理说，无论我们对那个副本做什么，只要我们把它放在原图的正上方(而且副本在原图上的投影不超过原图的范围)，副本上至少要有一个点，使它刚好在原图上对应点的上方。这一点可能是蒙娜丽莎的眼睛、耳朵或微笑的一部分。虽然不知道是哪一点，但确实存在。

立体空房间里也是这样:现在想象我们有一杯静止的水，然后拿起勺子，想搅拌多少就搅拌多少，然后等它完全静止。根据布劳威尔不动点定理，至少会有一个水分子，它会精确到搅拌前的位置。(多多边肖注:就是这个意思。单用分子例子，从数学的角度来看并不严谨。)

8.罗素悖论

在19世纪和20世纪之交，许多人被一个叫做集合论的新的数学分支迷住了(我们将在后面讨论)。简单来说，收藏就是一堆东西放在一起。当时的观点是一切都可以形成一个集合:各种果实的集合，所有美国总统的集合，完全有效。另外，一个集合可以包含其他集合(比如前一句:所有集合的集合也是集合)这一点非常重要。1901年，著名数学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)意识到，这种观点有一个致命的缺陷(从而导致了第三次数学危机)，那就是，不是一切都可以形成集合。

罗素决定对此进行深入研究，构造了一个元素都是不以自身为元素的集合的集合。因为由所有果实组成的集合不包含自身作为一个元素(估计番茄是不是果实)，属于罗素构建的集合，当然还有很多其他的集合满足这个条件。但是罗素的设定本身呢？如果它不包含自己作为一个元素，那么根据它的定义，它应该包含自己。但是等等...现在它确实包含了自己，所以按照它的定义，我们自然要再拿出来。然后，按照它的定义，现在必须放回去……等等。这个逻辑悖论导致了集合论的根本变革，集合论是当今数学最重要的分支之一。

7.费马大定理

还记得我在学校学的勾股定理吗？是关于直角三角形的，说的是在直角三角形中，两条短边的平方和等于最长边的平方(x+y = z)。皮埃尔·德·费马最著名的定理是:如果你把上面方程中的指数2换成任何大于2的正整数，那么这个方程就没有正整数解(比如x+y = z没有正整数解)。

就像费马自己写的:“我发现了一个很棒的证明，但是书旁边的空白色太窄了，写不出来。”那就太糟糕了，因为费马早在1637年就提出了这个问题，但是已经相当长时间没有被证明了。时间长了，我的意思是，终于在1995年(问题提出后358年)被安德鲁·怀尔斯证明了。

6.末日理论

可以合理地假设，这篇文章的大多数读者都是人。作为人类，这个项目会特别发人深省:数学可以用来推断我们的物种可能在什么时候灭绝。反正要用概率。

这个论证(存在了30年左右，被发现或重新发现过几次)基本上意味着人类的时代来临了。一个版本的说法(归于天体物理学家j .理查德·戈特)出奇的简单:如果我们把人类物种的完整存在时间看作是一个从出现到灭绝的时间线，那么我们就可以推断出我们现在在这个时间线中的位置。

因为“现在”的时刻只是我们作为一个物种存在的随机时刻，我们可以认为我们有95%的概率处于时间线的中间某处。如果我们现在恰好在时间线的前2.5%，那么它会给我们最长的时间。如果我们恰好在时间线的前97.5%，留给我们人类的时间是最短的。这使我们能够对人类能够生存多久给出一个范围估计。戈特认为，人类在5100年后到780万年后的某个时候死亡的概率为95%。所以，人类，想干嘛干嘛。最好去看看你的人生目标清单上还剩下什么。

5.非欧几里得几何

你在学校里学过的一点点数学，也许记得，可能是几何，甚至只是你在笔记上潦草的东西。我们大多数人都熟悉的几何被称为欧几里得几何，它是基于五个相当简单和不言而喻的关于点和线的公理。这些关于点和线的公理很容易在黑板上表达出来，长期以来被认为是几何学唯一可行的方法。

但问题是，欧几里德2000年前提出的这些看似不言自明的真理，并不是每个人都不言自明的。有一个公理(叫平行公设)和数学家有点不一样。几个世纪以来，许多人试图用其他公理来推导它。18世纪初，人们尝试了一种大胆的新方法:然后简单地替换了第五公设(即平行公设)。但是，整个几何体系并没有因此而崩溃，相反，一种叫做双曲几何的新几何(或者说宝叶-RoBarczewski几何)应运而生。这导致了科学界的彻底范式转变，并为许多不同类型的非欧几里德几何打开了大门。其中一个是黎曼几何，用来描述爱因斯坦的相对论(有意思，我们的宇宙不遵循欧几里得几何！)。

4.欧拉公式

欧拉公式是本文最有力的结论之一。这归功于历史上最多产的数学家之一莱昂哈德·欧拉。欧拉一生发表了800多篇论文，其中很多都是失明后发表的。

这个结果乍一看很简单:e I π+1 = 0。e和π是数学常数，经常出现在各种意想不到的地方。I是虚单位，等于-1的平方根。欧拉公式值得注意的是，它把数学中最重要的五个数(e，I，π，0，1)组合成了一个如此优美的方程。物理学家理查德.费曼称之为"数学中最神奇的公式"，其重要性在于它统一了数学的许多方向。

3.通用图灵机

我们生活在一个由计算机主导的世界里。也许你现在正在电脑上看这篇文章！估计没人会反对说计算机是20世纪最重要的发明之一，但你可能会惊讶地发现，计算机起源于纯数学。

数学家(也是二战中的密码破译员)艾伦·图灵发明了一种叫做图灵机的理论机器。图灵机就像一台非常简单的计算机:它使用无限纸带和三个符号(设置为0、1和空白色)，然后根据一组指令进行运算。说明可以是:

将“0”改为“1”，向左移动一个空格，或者输入“空 white”，向右移动一个空格(以上只是一个例子)。这样，图灵机可以用来执行任何定义明确的函数操作。

图灵接着描述了什么是通用图灵机，可以模拟所有其他图灵机，可以读入任何输入。这基本上就是存储程序计算机的概念。图灵只用数学和逻辑，在技术水平发展到设计真正的计算机之前就创立了计算科学领域。

2.不同层次无限

无限本身就是近的，这是一个很难掌握的概念。人类很难理解“无限”这样的概念。所以数学家对无穷大一直很谨慎。直到19世纪下半叶，格奥尔格·康托才建立了一个叫集合论的理论(还记得我们在罗素悖论中提到过吗？)，有了这个理论，康托尔就可以思考无限的真正本质。康托尔无止境的研究成果真的很神奇。

事实证明，对于任何一个我们可以想象的无限，总会有另一个比我们可以想象的无限更大的无限。最底层的无穷是所有正整数(1，2，3…)的个数，这个就是可数无穷。康托用一些优雅的推理证实了无穷还有另一个层次:所有实数的个数(1，1.001，4.1516，……包括你能想到的任何数)。这种类型的无穷是不可数的无穷，也就是说即使你拥有宇宙中所有的时间，你也不可能把所有的实数按照一定的顺序列出来而不遗漏一些实数。但是请等一下。根据康托尔的理论，在那个无穷之后还有更多不可数的无穷。那么有多少？当然，有无数个。

1.哥德尔不完全定理

1931年，奥地利数学家库尔特·哥德尔证明的两个定理震动了整个数学圈的核心，因为这两个定理的结合给了整个数学圈一个令人沮丧的结论:数学是不完整的，永远也不会完整。

技术细节不再赘述。哥德尔的第一不完全性定理说，对于任何形式系统(包含自然数的系统)，形式系统中总有一个真命题，该命题在形式系统中无法证明。那么更本质的是，哥德尔第二不完全定理说，任何公理系统的矛盾都不能在这个公理系统中得到证明。永远不会有一个封闭的系统可以包容所有的数学理论，因为我们无法使数学系统完整，所以数学系统只能越来越大。

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