椭圆的性质 漫谈椭圆的几何性质（之一）

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上一期我们讲了用焦点和准线定义椭圆，本期将介绍如何根据这个定义用数学软件绘制椭圆。然后，将解释与椭圆相关的几个平面几何性质。相关性质很多，可能会在很多时期一步步介绍。

今天的文章有点长，但确实内容丰富，分量很重。所以收获肯定会很丰富。

如下图所示。‘PP’是椭圆的焦点弦。连接PN和p 'n。然后轴平分角度PNP '。

证据:

如下图所示。如果P和P’是关于轴的对称点，那么很明显，角度PNP’被轴等分。让我们设置FP >: FP ' .求椭圆上的点p’，点q关于轴对称。连接PQ并将其延伸，在点n '处与准线相交。然后从上一条提到的属性，FN‘平分≈QFP’。因为点q和p’关于轴对称，所以穿过焦点f并平分角度QFP’的直线就是轴。所以，点n’就是点n . PN’就是PN。再利用点Q和点P′关于轴对称的条件，我们得到

≈QNF =≈P ' nf

即轴n平分线角..也就是说，焦点弦两端与点n连接得到的两段线段的夹角被轴等分。也就是n等分≈QNP。也可以说，如果假设准线为垂直于椭圆平面的平面镜，那么从焦点弦一端发出的光照射到准线与轴线的交点后，会被镜子反射，然后再照射到焦点弦的另一端。

‘PP’是椭圆焦点和弦。焦点为f，准线附近的椭圆顶点为a .连接PA并延伸，在r点与准线相交；连接点A并将其延伸，在点R处与准线相交。‘连接FR，连接FR’。三角形RFR’是一个直角三角形，直角位于点F..

不难证明。仍然使用以前的基本属性。用两次。FR和FR’分别是三角形PAF和P’af在点f处的外角平分线。看图表，相信自己应该能看到。

另外观察上图，我问你，三点r '，p，a '共线吗？答案是共线的，因为FR’也是三角形FPA’的角f处外角的平分线。同理，r，p '和a '共线。所以我们有一个推论:焦点弦的一端与椭圆的一个顶点的连线在准线上与焦点弦的另一端与椭圆的另一个顶点的连线相交。

椭圆有两个弦PQ和P'Q，它们有一个共同的端点Q..分别延伸PQ和PQ，分别在R and R点与准线相交。‘连接FR，连接FR’。以下角度关系成立:

≈PFP ' = 2≈RFR '

证明:也很简单。延伸的PF与准线相交于点s；延长线与准线在点s相交。所以有

∠α= ∠PFP '

=≈3+≈4

=≈3+

= 2∠3 +

= 2∠3+2∠2

=2

= 2∠β

我相信在这里见到你会让你受益匪浅！然后给个“好看”。