罗赫 计算共形几何讲义：黎曼-罗赫定理

【时间变更通知:本周共形几何计算课程变更为周六(2019年6月15日)，上午9:00-下午12: 00，清华大学春园西楼三楼报告厅附近。请访问我们寻求指导。】

数学方面，黎曼曲面理论精雕细琢，精致优雅，你会从各方面获益。一方面黎曼曲面理论比较初等，可以从复变函数理论中学习和掌握；另一方面，黎曼初等理论可以用现代的观点重新审视和组织，让初学者进入房间，欣赏现代数学的抽象概念。同时，黎曼曲面理论中很多基本的数学分支都是完美而自然地整合在一起的:例如:同调群、重叠空空间、代数拓扑中的纤维束；微分几何中的联系、曲率、老化、瑞奇流；椭圆方程、热核和偏微分方程中的指数定理；领域扩展理论，代数中的代数变种和理想理论，等等。

但由于人为的学科划分和专业壁垒，工科背景的学生学习抽象的黎曼曲面理论还是比较困难。如何将保角几何的精髓融入计算机科学的知识结构，一直是老古思考的问题。据老顾观察，理论物理专业的学生比纯数学专业的学生掌握黎曼几何和纤维束理论更快。根本原因在于物理的几何发展，使得物理专业的学生头脑中储备了大量的例题，可以随时与抽象的几何概念相互验证。例如，光纤束上的连接是一个模糊和抽象的概念。如果掌握了规范场的物理直觉，对联系的理解就简单了。

谢天谢地，黎曼曲面理论中的重要概念和定理日益变得可计算，保形几何的各种算法不断被发明，使得抽象概念的可视化程度不断提高，在工程实践中逐渐普及，很多工程应用触手可及，直观而频繁，使得保形几何的学习变得困难。

老顾和很多同学谈得很深入。他们都经历了漫长的心路历程，奋斗了几年才逐渐认识到内化共形几何的语言体系和理论框架。在大家的学习过程中，真正的转折点发生在实施动手编程计算一个保角几何算法的那一刻；或者当你在研究中遇到问题，确实需要拓宽思路的时候。可以看出，加快和加深学习效果的唯一途径就是手工实现算法，增加经验，学以致用。

图1。基于共形几何的网格生成。

有限元网格生成

从工程的角度来说，现实生活中的所有曲面都是黎曼曲面，很多工程问题的本质最终归结为共形几何。作为自然界的一部分，随着科学技术的发展和人类认识的深入，共形结构将在工程和医学实践中发挥越来越重要的作用。例如，在计算力学领域，有限元计算依赖于高质量的网格，因此网格生成至关重要。如何对一个曲面进行三角剖分，使每个三角形都接近等边三角形，一直是这个领域的一个基本问题。根据保角几何的均匀化定理，物理世界中的所有曲面都可以用保角映射映射到平面区域。如果我们在平面上生成高质量的网格，并通过保角变换将其拉回曲面，我们将生成高质量的曲面三角剖分。

图2。曲率测度收敛的离散曲面序列。

平面网格生成的算法很多，可以保证网格质量，如Chow算法、CVT(质心Voronoi镶嵌)算法等。因此，基于共形几何，可以生成高质量的三角形网格，从而保证有限元计算的准确性和稳定性。通过更详细的分析，我们可以利用离散法丛理论，证明由此得到的离散曲面的测地线、高斯曲率测度、平均曲率测度和拉普拉斯算子根据三角剖分的细化收敛到光滑曲面的相应几何量。

图3。复杂拓扑曲面的保角映射。

目前，可以计算任意拓扑结构的紧致度量曲面的保角映射。其中一种算法是基于黎曼曲面的亚纯微分。黎曼-罗奇定理保证了黎曼平面上给定极点和零点的亚纯微分的存在性。在本课程中，我们将使用初等方法证明经典的黎曼-罗奇定理。这个原理虽然抽象而深刻，但其内在本质是简单的线性代数。亚纯函数空和亚纯微分空都是线性空。我们先找到它们各自空的依据，然后考察线性组合系数需要满足的条件，从而得到空之间的维数。

黎曼-罗奇定理

黎曼曲面上有丰富的亚纯函数，这些亚纯函数通过加、减、乘、除封闭，从而形成一个定义域。如果两个黎曼曲面共形且彼此等价，则当且仅当它们的亚纯函数域同构时，存在共形微分同胚。由此，我们可以看到保角几何与代数之间的直接而深刻的联系。在紧黎曼曲面上，如果两个亚纯函数具有相同的零点和极点，并且对应的零点和极点的度数相同，那么这两个亚纯函数的商是常数。因此，亚纯函数的极点和零点几乎包含了函数的所有信息。

假设它是亚纯函数。在任意点的局部参数域中，其Laurent展开式为

,

如果是，那就是秩序的极点；如果是，那就是零阶点。我们记得的任务是

。

亚纯函数的除数是

,

这是函数在p点的赋值:在正常点，赋值为0，在奇点，赋值的次数为零极点。给定一个除法器，这里是一个整数，亚纯函数空由所有亚纯函数组成:

,

这意味着亚纯函数的极点位置和度数受因素的限制。可见空是有限维线性空。我们同样定义亚纯微分空:

,

也在有限维线性空之间。黎曼-罗奇定理给出了这两个线性的维数之间的方程空:

定理(黎曼-罗奇)在具有亏格的紧致黎曼平面上，给定除数，亚纯函数空与亚纯微分空之间的维数由其确定满足方程:

。

黎曼-罗奇定理是黎曼曲面理论的核心，大量的存在证明都依赖于这个定理。可以看作是指标定理的一个简单情况:黎曼流形上椭圆型偏微分方程的解空之间的维数由流形的拓扑决定。

阿贝尔微分

给定拉伸黎曼曲面的亏格，我们选择一组正则基本群基，

代数交数满足条件:

。

沿着基本群的基切割曲面，得到一个边界为的基本域

图1。典范基本群的基。

全纯微分的实部和虚部是实调和微分，虚部和实部是共轭的。根据Hodge定理，黎曼流形上的每一个上同调类都有唯一的调和微分形式，所以全纯微分构成的群都同构于上同调群，复维数等于亏格。我们取线性空之间的一组基，由全纯微分构成，基群的基是对偶的。

。

黎曼曲面上的亚纯微分具有局部表示

其中是全纯函数，前半部分是主奇异部分，称为极点处的残数。所有极点的残差之和为零。基本群体基础上的整合

分别称为A期和B期。我们可以标准化如下:

A-周期为零，称为归一化亚纯微分。

黎曼平面上的亚纯微分在传统上也称为阿贝尔微分。为了研究方面，我们把阿贝尔微分分为三类:

第一类阿贝尔微分是全纯微分，可以表示为线性组合.第二类阿贝尔微分所有极点处的留数都是零，一般形式为：第三类阿贝尔微分存在非零留数的极点。

第一类阿贝尔微分和第二类阿贝尔微分之间存在如下双线性关系:假设第一类阿贝尔微分有周期；设它为第二类阿贝尔微分，有周期且只有极点。在极点的局部参数域中，主要奇异部分是

的存在性可以通过霍奇定理得到。假设的局部表示是

,

那么我们有以下双线性关系:

。

如果是正规亚纯微分，则为零。取典型基数，不妨设定

有

。

黎曼-罗奇定理的证明

情况1:如果亚纯函数，那么；如果是亚纯微分，那就是全纯微分，所以。因此，黎曼-罗奇公式成立。

情况二:除数，也就是系数。如果亚纯函数，极点在的阶不大于。调查当地洛朗在附近的扩张，有

,

秩序，是有的。由此，我们得到线性映射:

。

这个线性映射的核是一个常数函数，表示为空。

让我们在图像之间构建一组基底空。对于所有极点，所有阶，存在第二类归一化亚纯微分，只考虑为N阶极点，附近的主奇异部分为。的a周期为零。一共有个亚纯微分。所以

,

这里是全纯微分。因为的A-周期为零，所以的A-周期为零，所以的A-周期为零，所以为零。由于的B周期为零，我们得到一个线性方程组:

假设系数矩阵的秩为，

我们有:。进一步

假设全纯微分基底为，则在处的Laurent展开为

,。

如果，那么它是全纯微分，

。

设它为零，它的阶为0，由此得到线性方程

,

设系数矩阵的秩为

,

那么解空之间的维数就是，这样。

从双线性关系

,

我们得到两个系数矩阵具有相同的秩。因此

一般情况:如果我们选一个亚纯微分，就有一个。黎曼-罗奇公式可以改写为对称形式:

。

如果任一个都等价于整数除数(即差为一个主除数)，那么黎曼-罗奇公式成立。

如果和不等于整数除法器，我们可以证明下列条件成立

,,,

所以黎曼-罗奇公式成立。

1)假设亚纯函数存在，那么。顺序，那么就是整数除法器，和是等价矛盾的。

2)、证明同1)。

3)假设、、、然后由黎曼-罗奇

所以我们有

。

那么，假设有一个线性独立的亚纯函数。设，构造亚纯函数，并满足()上至少有零点。这里我们有一个未知数和一个方程，所以解存在且满足，即与1矛盾)。如果假设是错的，我们应该有。同理。因此，3)成立。

到目前为止，我们已经完全证明了黎曼-罗奇定理。

总结

黎曼-罗奇定理是黎曼曲面理论的中心定理，它给出了满足特定条件的亚纯函数和亚纯微分的存在性。亚纯微分是计算保角映射的关键。虽然理论完善清晰，但一般亚纯微分的计算方法还没有得到认真研究。这个问题非常重要，将对工程医学领域产生深远的影响。我们期待年轻学者关注这个问题，并尽快克服它。