紫外灾难 从“紫外灾难”到量子的发现

"动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了。"

- 这是英国著名物理学家开尔文1900年说的一句话。事实证明，这份黯淡于经典物理学辉煌成就之下的忡忡之忧，既是一场令物理学界地动山摇的大风暴的前兆，也是烟暖雨收后一段崭新旅程的序碑。从山穷水尽到柳暗花明，量子世界从此尽显雄奇。

两朵"乌云"：山雨欲来风满楼，经典物理陷困局

16世纪至19世纪的欧洲见证了经典物理学的快速发展，微积分等数学知识的引入则是为这只初奔的猛虎插上了凌天之翼，一众卓尔不凡的物理学家在定理和图表间轻拢慢捻，弹奏出了惊艳人寰的美妙交响。到了19世纪末，物理学的窗外已是一片迟日江山，引人陶醉，牛顿力学、麦克斯韦电磁场理论以及统计热力学三大体系仿佛三只足，拱卫着当中这尊绝世宝鼎。在时人眼中，物理学发展之成熟、完备就如海到无边，山临绝顶，令人无可建树，难有希冀。

但平静的表象下往往暗流涌动，在一片称颂之音中，开尔文敏锐地发现了当时尚未解决的两个物理问题，并将它们比作物理晴空中的两朵乌云--既可以隐匿于晴天朗日间无伤大雅，也可能酝酿出令天地变色的风雨交加。

第一个问题是以太假说。以太是一种假想的物质，曾被认为是光在真空中传播的介质。以太弥漫在宇宙中，无处不在，因此地球公转时应该有高速的"以太风"吹来，由于以太是光传播的介质，可以推测改变光的传播方向时测得的真空光速应该是不同的。1887年，迈克尔逊和莫雷据此设计了实验，结果发现无论沿哪个方向传播，真空光速都是一样的，以太假说因此陷入难以自洽的泥潭。

第二个问题是黑体辐射实验。黑体是只能吸收电磁辐射而不会反射电磁辐射的一种理想模型，在热力学平衡态下，黑体能辐射出不同波长的电磁波，以辐射能量密度对波长作图，即可得到该温度下的辐射谱分布。就在开尔文发表"乌云之忧"的这一年，英国物理学家瑞利勋爵从经典统计力学的角度推导出了黑体辐射谱分布公式，这个公式在长波区与实验数据基本吻合，但在短波区严重偏离实验结果。由于短波区即紫外区，这一与经典物理相悖的现象也被称作"紫外灾难"，它使经典物理一度完美的体系从根基上受到了动摇，也在物理学界引发了巨大的恐慌。

这两朵"乌云"就像数独题填到最后几个空格时才发现的异常一样，一方面令人挫败沮丧，另一方面也使人怀疑之前的探索从某一步开始就都是错误的。当时的物理学在这两大难题面前，似乎除了"文过饰非"、用牵强的理论草草解释，以及将经典物理彻底推倒重来这两种选择之外，再无他路可走，而无论作出哪种选择，对于一贯严谨、缜密且注重学科架构的物理学来说，无疑都会是一场浩劫。

黑体辐射实验：千淘万漉后的疑惑，紫外灾难下的思索

1896年，德国物理学家威廉·维恩在卢梅尔等人的实验基础上，从热力学角度推导出半经验的黑体辐射分布公式，称为"维恩近似"，该公式与实验结果在短波区相符，长波区不符：

由λ=c/ν换算得到的维恩谱分布，公式中ρ为能量密度，T=2000K，图中黑点为实验值

而之前提到的引发"紫外灾难"的瑞利公式则是在长波区相符，短波区不符：

瑞利-金斯谱分布，实线为实验值，瑞利线在短波区趋于无穷大，严重偏离实验事实

上述两个公式都具有一定局限性，那么有没有一个公式能够一般地描述全波段黑体辐射的规律呢？如果有，这个公式又将如何解释"紫外灾难"与经典物理之间的矛盾呢？

"紫外灾难"等待着另辟蹊径的勇士来化解

还是在开尔文指出两朵"乌云"的同一年，普朗克利用内插法，从维恩近似和瑞利-金斯公式的实验数据中得出一条纯粹的经验公式，它在全波段范围内都与实验值吻合，式中h为普朗克常数，

普朗克谱分布，在全波段内与实验结果吻合良好

在介绍普朗克对这一公式的具体解释之前，我们先来看看引发"紫外灾难"的瑞利-金斯公式的大致推导过程：

1、黑体辐射出的频率为ν的电磁波可视为频率为ν的振子；

2、单位体积内的振动自由度g可由几何知识求得，式中c为光速：

3、同一频率的振子可能有多种能量取值，经典物理认为，这些能量是连续分布的，且其值ε与对应的振子数目N符合统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼统计分布。式中α、β为常数，β=1/kT，k为玻尔兹曼常数：

瑞利-金斯公式的推导中，能量是连续分布的

继而可以导出平均能量E的表达式，式中Γ(n)为伽马函数：

这一结果与经典物理中的能量均分定理相吻合，表明电磁波的平均能量与频率无关。

4、振子的能量等于振动自由度g与平均能量E的乘积，即推出瑞利-金斯公式：

普朗克认为瑞利的推导在物理上是没有问题的，玻尔兹曼统计分布的正确性也毋庸置疑，但自己得出的纯经验公式与瑞利-金斯公式在形式上相去甚远，说明上述看似无懈可击的数学推导中隐藏着一个足以左右计算方向的细节。以普朗克自己的直觉来说，他并不认为经典物理中的能量均分定理是始终成立的，为此他也必须找到一个严谨的解释来支撑这份直觉。

能量不连续假定：普朗克的鬼才，量子奇论初露锋芒

普朗克注意到自己推出的经验公式中保留有e的负指数项，这与e的负指数函数的无穷级数和在形式上十分相像，但后者是不连续数值的和，如果一个振子的总能量真的是一个级数的和，岂不是说明能量是不连续分布的？在经典物理的范畴里，这简直是天方夜谭，普朗克自己都觉得荒谬可笑，但强烈的直觉还是驱使着他建立了不连续分布的振子数目N与能量ε的关系。他通过大量计算，引入了一个常数h≈6.626×10-34J·s，并假定ε0=hν是频率为ν的振子的能量最小单位，即能量只能取ε0的整数倍，如ε0，2ε0，3ε0等：

普朗克创造性地认为，能量并不是连续分布的

普朗克据此计算出了能量不连续分布的振子的平均能量E：

可见能量与频率有关，并不符合经典的能量均分定理。再由

即可得到能量不连续分布的"改良版"瑞利-金斯公式：

著名推理小说《四签名》里有一句脍炙人口的话："排除掉所有的不可能，留下来的东西，无论你多么不愿意去相信，但它就是真相。"推导结果与经验公式的完美契合，说明普朗克"能量不连续"的假定是成立的。理论与经验在各自的尽头交汇，在智慧之火的引燃下，绽放出了物理夜空里最绚烂的烟花。

能量量子化的理论，不但完美化解了"紫外灾难"，也从数学角度解释了瑞利-金斯公式和维恩近似各自存在局限性的原因：

可见瑞利-金斯公式与维恩近似分别只是普朗克公式在长、短波区的近似解。

普朗克凭借超群的计算能力与非凡的想象力，证实了能量的量子化，撕开了量子混沌的第一道天裂，但也许是过于追求严谨，他在1901年发表的论文里虽然公布了这一令人雀跃的结果，却并没有将量子化的结论从能量进一步推广到电磁波。

寻获量子之钥：光电"天堑"变通途，雏凤声清起高鸣

1887年，德国物理学家赫兹发现了光电现象，即某些物质内部的电子会受光照激发而逸出并形成电流。光电现象有两个重要特征，一是光电流随激发光强增大而增大，但达到某一临界值后便不再增加；二是对于不同材质的物体，都存在一个能将电子激发出来的极限波长，只有用不大于该波长的光激发才会产生光电现象。从1887年到1905年将近20年的时间里，物理学家们试图从多种角度解释光电现象，但是均以失败告终，其中最大的难关在于光电现象产生与否取决于所用光的波长而非光强，这是用光的波动性所无法解释的。

1905年，年仅26岁的爱因斯坦发表了震惊学界的《关于光的产生和转化的一个试探性观点》，他在文中对普朗克先前的量子化理论进行拓宽，认为光可以看作由携带着量子化能量的"载流子"所组成的粒子，他将这种"载流子"称为光子，光子的能量等于普朗克常数与其频率的乘积，因此光的能量只取决于频率，而无关乎光强。当光子的波长足够小、频率足够高、能量足够大时，就足以令电子克服原子核的束缚而逸出。

E=hν

具有划时代意义的一个公式

光电效应实验装置图

爱因斯坦对于光电效应独辟蹊径的解释令传统光学界乃至物理学界瞠目结舌，他和普朗克一样，几乎是凭自己的想象力"摸索"到了光的粒子性。从普朗克提出黑体辐射公式到爱因斯坦成功解释光电效应，短短数年间，量子世界的大门终于被以二人为代表的无数卓越的物理学家所叩开，物理学的发展从此告别了"经典"二字的束缚，研究方向也从低速宏观逐渐转向高速微观，迈入了崭新的纪元。

当时针被拨回上一次世纪之交，开尔文演说的讲台下，每一个人也许都在畅想着未来一百年物理学发展的光景，但也许谁都不会料到，从一度黑云压城、大厦将倾的危惧，到因祸得福、发现量子世界的振奋，经典物理学在绝地逢生的经历间完成了蜕变。普朗克在"紫外灾难"前奏响的旷世狂想，爱因斯坦在意气风发的年纪发出的震世初吼，也都成了那张以物理为名的老旧唱片里，呕哑出的最传奇的波形。

合肥微尺度物质科学国家实验室

林振达