六边形面积公式 有趣的面积问题

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一个简单的面积计算问题，但是需要一个巧妙的方法而不是一个计算公式。

边长为1的正六边形位于边长相等的正十二边形内部，如下图所示。它们有重合的一面。两个正多边形的面积差是多少？也就是说，去除阴影后的图形在正十二边形内部的面积是多少？

正十二边形和正六边形都是中心对称的图形，因此向上平移正六边形直到两个正多边形的中心重合是至关重要的。如下图所示。

将新得到的正六边形的每个顶点与最近的两个正十二边形顶点连接起来，如下图中的CE和CA；DB、DF .有12个这样的连接。通过对称，这12个环节都是相等的。再者，这12条连接线将正十二边形和正六边形之间的“环形区域”划分为12个小区域，其中6个区域(间隔)为四边形ABDC表示的矩形(图中绿色，其中AB平行等于CD，AC垂直于AB)，其余6个区域为三角形ace表示的等腰三角形(图中粉色，其中AC=EC)

上面这张图是我用数学软件做的，好像很标准。看，看起来矩形ABDC是一个正方形，三角形ACE是一个正三角形吗？如果是这样的话，我们要解决的面积问题就变得极其简单了。

要证明上面的猜想，我们只需要证明AC=CD。如下图所示，我们制作辅助线AO和BO。根据对称性，三角形AOB是一个等腰直角三角形，大小∠OAB是正十二边形每个内角的一半。正十二边形内角之和等于(12-2) * 180 = 1800。所以

≈OAB =≈EAB/2 =(1800/12)/2 = 150/2 = 75

∠AOB = 180 -2×75 = 30

因此

∠1 = 90 -75 = 15

≈2 =(≈COD-≈AOB)/2 =(60-30)/2 = 15

即

∠1 = ∠2

因此

交流电=一氧化碳

而且因为三角形COD是正三角形(正六边形的六分之一)，所以

交流=光盘

由此，我们证明了“环面积”之间的12条连线都等于正十二边形和正六边形的边长，即都等于1。

接下来，我们找到

(1×1)× 6 = 6