方阵是什么意思 线性代数课件第2章矩阵培训资料

第2章 矩阵;2.1.1矩阵的定义定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或 ，其中 表示位于第 行第 列的数,称为 的元素，所以 矩阵也可以简记为 或 ．;2.1.2 几种特殊形式的矩阵行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量．列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．;即其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线． 阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵，即 ;记为; 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵，即 且 记为或; 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵，记为或; 2.2 矩阵的运算;2.2.1 矩阵的线性运算1．矩阵的加法定义2 两个 的同型矩阵 和 的对应元素相加，所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ，即;例1 设 而 无意义．;2．数与矩阵的乘法 定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素，所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩阵，简称数乘，记为 ，即 当 时，称 为矩阵 的负矩阵，显然有 ;所以矩阵的减法可定义为矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算，其运算规律： ； ； ； ； ； ． ;例2 设且 ，求矩阵 ．解 在 等式两端同加上 ，得;上式两端同乘 ，得;2.2.2 矩阵与矩阵相乘定义4 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，则规定 与 的乘积是一个矩阵 ，其中记为 ;例3 设矩阵求乘积 ．解 ; 例4 设矩阵 ，求 及 ．解 ;例5 设 ， 求 与 ．解 ;矩阵乘法的运算规律：结合律： 分配律： 对任意数 有设 是 矩阵 ，则 ，或简记为 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似于乘法中的数1． ;定义5 方阵 的 次幂定义为 个方阵 连乘，即 其中 为正整数，规定 ，其运算规律： ； 为正整数 ．因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 阶方阵 与 ，一般来说;2.2.3 矩阵的转置定义6 将 矩阵 的行换成同序数的列，所得的 矩阵称为 的转置矩阵，记为 或 ，即其运算规律： ；; ； ； ．例6 已知 求 ．解法1 因为 ;所以解法2 ;定义7 设 为 阶方阵，若满足 ，则称 为对称矩阵，即其特点是：关于主对角线对称的元素相等．若满足 ，则称 为反对称矩阵，即 ，当 时， ，其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主对角线上的元素全为零．;2.2.4 方阵的行列式定义8 由 阶方阵 的所有元素构成的行列式，称为方阵 的行列式，记为 或 ，即其运算规律： ； 为 阶方阵） ； ;2.2.5 共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ， 称为 的共轭矩阵．其运算规律： ； ； ．;2.3 逆矩阵;2.3.1 逆矩阵的定义及性质定义9 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使 ，则称方阵 可逆， 为 的逆矩阵．若 可逆，则 的逆矩阵是惟一的．可逆矩阵的性质： 若 可逆，则其逆阵 也可逆，且若 可逆，则 也可逆，且 ;若 可逆， 为非零常数，则 也可逆，且若 ， 为同阶可逆阵，则 也可逆，且 ;2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵称为矩阵的伴随矩阵. ;定理1 设 是 阶方阵， 为 的伴随矩阵，则定理2 阶方阵 可逆 ，且 推论 若 ，则 ． ;例1 设判断 是否可逆，若可逆，求 ．解 因为;所以 可逆，又因为有 ;所以求矩阵 ，使满足 .解 若 ， 存在，则用 左乘上式， 右乘上式， ;有即 ．由例1知， 可逆，且又因 ， 也可逆，且;所以;2.4 分块矩阵;2.4.1 分块矩阵的概念 设 是 矩阵，用若干条横线和竖线将矩阵分成若干个小块，每一小块作为一个小矩阵，称为 的子块，在进行矩阵运算时，可以将 的每一个子块作为一个元素，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵． ;2.4.2 分块矩阵的运算1.分块矩阵的线性运算① 分块矩阵的加法设 与 为同型矩阵，且以相同的方式分块，即其中 与 也是同型矩阵，则;②数与分块矩阵的乘法设 为数，则;2.分块矩阵的乘法 设 为 矩阵， 为 矩阵，若它们的分块矩阵分别为其中子块 的列数分别等于子块 的行数，即矩阵 的列的分法与矩阵 的行的分法一致，则;其中求 ． ; 解 将 、 分块成;;3.分块矩阵的转置设 4．分块对角阵及其运算设 为 阶方阵，若 的分块矩阵的主对角元素为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子块均为方阵， ; 其中 为方阵，则称 为分块对角阵． 分块对角阵的行列式与各主对角块的行列式满足： ;由此可知，若 ，则 ，并有 或 ;例2 设求 ．解 将 按元素特征分块为其中;所以;2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵;2.5.1 矩???的初等变换1．初等行变换定义11 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对换变换：对换矩阵的某两行 ；数乘变换：非零数 乘矩阵某行的所有元素；倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上．;若将上述定义中的“行”换成“列”，即对矩阵的列施行上面三种变换，就称为矩阵的初等列变换，相应的初等列变换分别记 ， ， ．2．初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．3．等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换化为矩阵 ，则称 与 等价，记为 ．矩阵的等价具有以下性质： 自反性： ；对称性：若 则 ；传递性：若 ， ，则 ;4．特殊矩阵行阶梯形矩阵 如果矩阵中元素全为零的行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵．行最简形矩阵 若行阶梯形矩阵中的非零行的第一个非零元素为1，且1所在列的其它元素全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵．若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵，其余元素全为零，即;称此矩阵为标准形矩阵，它由 三个数惟一确定，其中 为标准形矩阵中非零行的行数．;2.5.2 初等矩阵定义12 单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵．三种初等行变换对应的三种初等矩阵分别为： 或 ：交换 的 两行所得的矩阵，即; 或 ： 的第 行乘非零数 所得的矩阵，即 或 ： 的第 行乘 加到第行所得的矩阵， ;即初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同种初等矩阵，即 ;定理3 设 为 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵．定理4 若 为 矩阵，则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ，使得推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 ．推论2 若方阵 可逆，则存在有限个初等矩阵 ，使 ．;推论3 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 ．用初等列变换也可求逆矩阵，即例1 设 求 ． ;解 ;所以 ;例2 求矩阵 ，使 ，其中 解 若 可逆，则 ． ;所以 ;2.6 矩阵的秩;2.6.1 矩阵秩的定义定义13 设 为 矩阵，在 中任取 行和列 ，位于这 行 列交叉位置上的 个元素，按原有的位置构成的 阶方阵，称为矩阵 的一个 阶子方阵，其行列式称为 的一个 阶子式．定义14 设 矩阵 中，有一个 阶子式 不等于零，而所有 阶子式全等于零，则称 为矩阵 的最高阶非零子式，称数 为矩阵 的秩，记为 ．并规定零矩阵的秩为零． ;2.6.2 矩阵秩的性质 设 为 矩阵，则 ； ； ； ； ，其中 为 矩阵， 为矩阵 ． ;2.6.3 初等变换求矩阵的秩 定理5 若 ，则 ．推论1 若 为 阶可逆矩阵，则 推论2 若 则 ．推论3 设 为 矩阵， 、 分别为 阶和 阶满秩矩阵，则 ; 例 设 求矩阵 的秩． 解 将 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵： ;所以; 阶三角阵 阶上三角阵和 阶下三角阵统称为 阶三角阵．①上三角阵 主对角线下方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为上三角形矩阵，简称上三角阵，记为 或 ;②下三角阵 主对角线上方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为下三角形矩阵，简称下三角阵，记为 或 ;同型矩阵 矩阵 的行数等于矩阵 行数，称 和 是同型矩阵．相等矩阵 若 与 是同型矩阵，且则称 与 相等，记为 ．注意：不同型的零矩阵是不相等的．

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