此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 北师大版高中数学必修 5 第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能: 理解数列及其有关概念; 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出 数列的任意一项; 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式。 2 、过程与方法: 采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行 启发式教学; 发挥学生的主体作用,作好探究性学习; 理论联系实际,激发学生的学习 积极性。 3 、情感态度与价值观: . 通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验 . 理论联系实际, 激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度, 培养学生的辩证唯物主义观点; . 通过本 节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣 . 二、教学重点: 数列及其有关概念,通项公式及其应用 . 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 . 三、教学方法: 探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 、揭示课题 : 今天开始我们研究一个新课题. 先举一个生活中的例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有 100 根,在其上一层码放了 99 根,第三层码放了 98 根,依此类推,问:最多可放多少层?第 57 层有多少 根?从第 1 层到第 57 层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要但求如何去研究, 找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列. 、推进新课 [合作探究] 折纸问题 师 请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试 . 生 一般折 5、6 次就不能折下去了,厚度太高了 . 师 你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为 1 长度单位,面积为 1 面积单位,随依次折的 次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样? 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 生 随着对折数厚度依次为 :2 ,4, 8, 16,…, 256,…;① 1 1 1 1 1 随着对折数面积依次为 , , , , …, , …. 2 4 8 16 256 生 对折 8 次以后,纸的厚度为原来的 256 倍,其面积为原来的 分 1[]256 式 ,再折下去太困难 师 说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化 . 请同学们观察上面我们列出的这一 列一列的数,看它们有何共同特点? 生 均是一列数 . 生 还有一定次序 . 师 它们的共同特点:都是有一定次序的一列数 . [教师精讲] 1. 数列的定义: 按一定顺序排列着的一列数叫做数列 . 注意: 数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列; 定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列 中可以重复 出现 . 2. 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项 , 第 2 项,…,第 n 项,… . 同学们能举例说明吗? 生 例如,上述例子均是数列,其中①中,“ 2”是这个数列的第 1 项 ,“ 16”是这个数 列中的第 4 项 . 为表述方便给出几个名称:项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 . 首项 其中数列的第一项也称首项 . 通项 数列的第 n 项叫数列的通项. 以上述两个数列为例,让学生练习指出某一个数列的首项是多少,第二项是多少,指出某一个数 列的一些项的项数. 由此可以看出, 给定一个数列, 应能够指明第一项是多少, 第二项是多少, ……, 每一项都是确定的, 即指明项数, 对应的项就确定. 所以数列中的每一项与其项数有着对应关系, 这与我们学过的函数有密切关系. 3. 数列的分类: 1) 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列 . 例如数列 1,2 ,3 ,4,5 ,6 是有穷数列 . 无穷数列:项数无限的数列 . 例如数列 1,2 ,3 ,4,5 ,6…是无穷数列 . 2) 根据数列项的大小分:递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列 . 递减数列: 从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列 . 常数数列:各项相等的数列 . 摆动数列:从第 2 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 . 请同学们观察:课本的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列? 生 这六组数列分别是 递增数列, 递增数列, 常数数列, 递减数列, 摆动数列, 1. 递增数列, 2. 递减数列 . 4、通项公式法 : 如数列 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 数列的通项公式具有双重身份, 它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表 示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了, 代入项数就可求出数列的每一项. 例如,数列 的通项公式 ,则 . 值得注意的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的数列都有通项公式,即 便有通项公式,通项公式也未必唯一. [知识拓展] 师 你能说出上述数列①中的 256 是这数列的第多少项?能否写出它的第 n 项? 生 256 是这数列的第 8 项,我能写出它的第 n 项,应为 an=2 . [例题剖析] 例 1. 根据下面数列 { a } 的通项公式,写出前 5 项: n n an an n = ; = · . n 1 师 由通项公式定义可知, 只要将通项公式中 n 依次取 1,2 ,3,4 ,5,即可得到数列的前 5 项 . 1 2 3 4 5 生 解: n=1,2,3,4,5. a1= ; a2= ; a3= ; a4 = ; a5= . 2 3 4 5 6 n=1,2,3,4,5. a1=-1; a2=2; a3 =-3; a4 =4; a5=-5. 师 好!就这样解 . 例 2. 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: 2 4 6 8 10 3 ,5,7,9 , 11,…; , , , , ,…; 3 15 35 63 99 0 , 1,0, 1,0 ,1,…; 1 ,3 ,3, 5,5,7 ,7,9,9 ,…; 2 ,-6 ,12,-20 ,30 ,-42 ,…. 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 师 这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式? 生老师,我写好了! 2n 1 n n n 解: a =2n+ 1; a = ; a = ; 2 1 将数列变形为 1+0,2+ 1,3+0 ,4+ 1,5 +0,6 + 1,7 +0 ,8+ 1,…, ∴ n = + ; a n n+1 将数列变形为 1×2, - 2 ×3, 3 ×4,- 4 ×5,5 ×6,…, ∴a = n. 师 完全正确!这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 . 、学生课堂练习: 课本本节练习 1、2 、3、4 补充题:已知数列 { a 2 n} 的通项公式是 an=2n -n ,那么 n n A.30 是数列 { a } 的一项 B.44 是数列 { a } 的一项 C.66 是数列 { a } 的一项 D .90 是数列 { a } 的一项 n n 分析:注意到 30,44 ,66 ,90 均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中出现了这 四个数中的某一个, 则问题就可以解决了 .若出现的数比较大, 还可以用解方程求正整数解的方法 加以解决 . 答案: C 点评: 看一个数 A 是不是数列 { an} 中的某一项,实质上就是看能不能找出一个非零自然数 n,使 得 an=A . 、课堂小结: 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项, 并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。 、布置作业 课本习题 1-1A 组 1、 2、3 、4 。 五、教后反思: 第二课时 1.1.2 数列的函数特性 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1、知识与技能: 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ;理解数列是 一种特殊的函数; 2、过程与方法: 通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法 ;3 、情态与价值: 体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来 研究有关数列的问题, 可以进一步让学生体会数学知识间的联系, 培养用已知去研究未知的能力。 二、教学重点: 理解数列的概念, 探索并掌握数列的几种间单的表示法 。 难点: 了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。 三、教学方法: 讲授法为主 四、教学过程 、导入新课 师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈一谈什 么叫数列的通项公式? 生 如果数列 { an} 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式 . 师 你能举例说明吗? 生 如数列 0, 1,2 ,3, … 的通项公式为 a * n=n-1; n ,1 ≤n≤ 3); 1,1,1 的通项公式为 a =1. 2 3 4 n 1 1 教师进一步启发上面数列 an =n-1 、an= 与函数 f x 1,f 有什么关系?你能用图象 n x 直观表示这个数列吗?由此展开本节新课。 新知探究 1、数列与函数的关系: 数列可以看作特殊的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值, 数列的定义域是正整数集 ,或是正整数集 的有限子集 . 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列. [合作探究] 同学们看数列 2,4 ,8 , 16,…, 256,…①中项与项之间的对应关系, 项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示? 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N 的函数 an=f , 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 . 反过来,对于函数 y =f ,如果 f 有意义,那么我们可以得到一个数列 f , f , f , …,f , …. 师 说的很好 . 如果数列 { an} 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就 叫做这个数列的通项公式 . [合作探究] 师 函数与数列的比较 : 函数 数列 定义域 R 或 R 的子集 N或它的有限子集 {1 ,2,…, n} 解析式 y=f a =f 图象 点的集合 一些离散的点的集合 师 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式来 画出其对应图象,下面同学们练习画数列 : 1 1 1 4,5 ,6,7,8 ,9 ,10…; ② 1, , , , …③的图象 . 2 3 4 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为 师 数列 4,5,6 ,7,8 ,9 , 10, …②的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关 . 1 1 1 师 数列 1, , , , …③的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 2 3 4 生 与我们学过的反比例函数 y 的图象有关 . 师 这两数列的图象有什么特点? 生 其特点为:它们都是一群孤立的点 . 生 它们都位于 y 轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于 y 轴的右侧 的点 . 2、数列的表示法 数列可看作特殊的函数, 其表示也应与函数的表示法有联系, 首先请学生回忆函数的表示法: 列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第 一项,用 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 列举法 : .简记为 . 一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个数列,把它称作图示法. 图示法 : 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形. 具体方法是以项数 为横坐标, 相应 的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 ,所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为 正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看 到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.有些函数可以用解析式来表示,解析式反映了一 个函数的函数值与自变量之间的数量关系, 类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来, 即 ,这个函数式叫做数列的通项公式. 通项公式法 : 如数列 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 数列的通项公式具有双重身份, 它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表 示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了, 代入项数就可求出数列的每一项. 例如,数列 的通项公式 ,则 . 值得注意的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的数列都有通项公式,即 便有通项公式,通项公式也未必唯一. 除了以上三种表示法, 某些数列相邻的两项 有关系, 这个关系用一个公式来表示, 叫做递推公式. 递推公式法 : 如前面所举的钢管的例子,第 层钢管数 与第 层钢管数 的关 系 是 , 再 给 定 , 便 可 依 次 求 出 各 项 . 再 如 数 列 中 , ,这个数列就是 . 像这样,如果已知数列的第 1 项 ,且任一项与它的前一项间的关系用 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法,它包含 两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可.可由学生举例,以检验学生是否理解. 、例题探析 1 2 3 n ··· ···; 例 1、判断下列无穷数列的增减性。 2,1,0 ,-1 , ,3-n, , , ,ggg, ,ggg。 2 3 4 n 1 学生探究交流,教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。 【答案:递减数列; 递增数列】 1 1 1 1 1 n 例 2、作出数列 , , , ,K K , ,…的图像,并分析数列的增减性。 2 4 8 16 2 O 1 2 3 4 5 X 解析:如图是这个数列的图象,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴上下摆动, 它既不是递增的,也不是递减的。 、学生练习: 课本本节练习 1、2 、课堂小结: 1、探究结论; 2、数列与函数有什么关系? 、作业布置: 习题 1-1 A 组第 5、 6、7 题 五、教后反思: 第三课时 数列的概念 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1、知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公 式写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 a n 的关系 2 、过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。 3 、情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 二、教学重点: 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 三、教学过程 Ⅰ. 课题导入 [ 复习引入 ] 数列及有关定义 Ⅱ. 讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法 如果数列 a n 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式。 如数列 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 的通项公式为 ; 2、 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形. 具体方法是以项数 为横坐标, 相应的项 为 纵坐标, 即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 ,所得的数列的图形是一群孤立的点, 因为横坐标为正整数, 所以这些点都 在 轴的右侧, 而点的个数取决于数列的项数. 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到 大变化而变化的趋势. 3、 递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题. 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一: 自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即: 1 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即: 2 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即: 3 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即: 4 7 =4+3 第 5 层钢管数为 8;即: 5 8 =5+3 第 6 层钢管数为 9;即: 6 9 =6+3 第 7 层钢管数为 10;即: 7 10=7+3 若用 a n 表示钢管数, n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an n 3 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列 表法, 图象法, 解析式法. 相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法: 用 表示第一项, 用 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 4、列表法 .简记为 . [ 范例讲解 ] a 1 例 3 设数列 an 满足 1 写出这个数列的前五项。 an 1 . an 1 解:分析:题中已给出 an 的第 1 项即 a1 1 ,递推公式: an 1 a n 1 1 1 2 1 5 8 解:据题意可知: a1 1,a2 1 2, a3 1 , a4 1 , a5 a1 a2 3 a3 3 5 [ 补充例题 ] 例 4 已知 a1 2 , an 1 2a n 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 2 a2 2 2 22 a3 2 22 23 ,观察可得 an 2 n 法二:由 a n 1 2 an ∴ a n 2an 1 即 n 2 an 1 a n a n 1 an 2 a2 n 1 ∴ 2 a n 1 a n 2 a n 3 a1 n 1 n ∴ an a1 2 2 Ⅲ . 课堂练习: 课本 P36 练习 2 [ 补充练习 ] 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 a1 =0, a n 1 = an + ; a =1, a = n ; 1 n 1 an 2 a =3, a =3 a -2 . 1 n 1 n 解: a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ a n = ; 2 1 2 2 1 2 2 a1 =1, a2 = , a3 = , a4 = , a5 = , ∴ an = ; 3 2 4 5 3 6 n 1 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 0 1 2 a =3 =1+2 3 , a =7=1+2 3 , a =19=1+2 3 , 1 2 3 3 4 n 1 a4 =55 =1+2 3 , a5 =163=1+2 3 , ∴ a n =1+2 ·3 ; Ⅳ . 课时小结: 本节课学习了以下内容: 1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数 之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项之间的关系 . 3 . an 的定义及与 n 之间 Ⅴ. 课后作业: 习题 2.1A 组的第 4、6 题 作业: P9 第 4 题 四、教后反思: 第四课时 §1.2.1 等差数列 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1.知识与技能 : 通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的 问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的 2. 过程与方法 : 让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差 数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式 应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的 3.情态与价值 : 培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 二、教学重点: 理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决 一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点: 概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 三、学法: 引导学生首先从四个现实问题概括出 数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;可以 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 四、教学过程 、创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这 些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先 学习一类特殊的数列。 新知探究 、引导观察数列: 0, 5,10, 15,20 ,…… ① ; 48 ,53 ,58 ,63 ② 18, 15.5 ,13, 10.5 ,8, 5.5 ③; 10 072 , 10 144 , 10 216 , 10 288 , 10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢? 引导学生观察相邻两项间的关系, 得到: 对于数列①, 从第 2 项起, 每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列③,从第 2 项起, 每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出, 以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数 。 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 等差数列的概念 : 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。 请同学们根据我们刚才分析等差数列 的特征,尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公 差依次是 5,5,-2.5 ,72 。 、得出等差数列的定义:注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。 1.名称:等差数列,首项 1 , 公差 ;2.若 d 0 则该数列为常数列; 3.寻求等差数列的通项公式: a2 a1 d a3 a2 d d a1 2d a4 a3 d d a1 3d 由此归纳为 an a1 d 当 n 1时 a1 a1 注意 : 1 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数; 2 如果通项公式是关于 n 的一次函数, 则该数列成等差数列; 证明: 若 an An B A A B A 它是以 A B 为首项, A 为公 差的 AP。 3 公式中若 d 0 则数列递增, d 0 则数列递减; 4 图象: 一条直线上的一群孤立点得出通项公式: a { a } a a d 以 1 为首项, d 为公差的等差数列 n 的通项公式为: n 1 ;知等差数列 的首项 a1 和公差 d,那么这个等差数列的通项 an 就可以表示。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: { a } a a d , : n 是等差数列,所以 n n 1 an 1 a n 2 d , an 2 a n 3 d , 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 a2 a1 d , 两边分别相加得 a n a1 d , 所以 a n a1 d { a } : n 是等差数列,则有: a n a n 1 d a n 2 d d a n 2 2d a n 3 d 2d a n 3 3d …… a1 d 所以 a n a1 d 、例题讲解: 注意在 a n a1 d 中 n ,an , a1 ,d 四数中已知三个可以求出另一个。 例 1、 判断下面数列是否为等差数列 . 例 2、 已知数列首项与公差 , 求通项公式 . 例 3、已知数列的其中几项 , 求其余各项 例 4、已知数列其中两项 , 求通项公式 . a b 关于等差中项: 如果 a, A, b 成 AP 则 2 证明:设公差为 d ,则 A a d b a 2d a b a a 2d

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