整数的概念

  整数(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。整数包括哪些数

  整数的全体构成整数集,整数集是一个数环。在整数系中,零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

  整数的分类

  我们以0为界限,将整数分为三大类:

  1° 正整数,即大于0的整数如,1,2,3······直到n。

  2° 零,既不是正整数,也不是负整数,它是介于正整数和负整数的数。

  3° 负整数,即小于0的整数如,-1,-2,-3······直到-n。(n为正整数)www.pig66.com

  注:现中学数学教材(2005年)中规定:零和正整数统称自然数。

  整数也可分为奇数和偶数两类。

  正整数

  它是从古代以来人类计数的工具。可以说,从“1头牛,2头牛”或是“5个人,6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。

  零

  零不仅表示“没有”(“无”),更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

  负整数

  中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”,就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c,如果a、b是自然数,则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。整数包括哪些数

  奇偶

  整数中,能够被2整除的数,叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时,偶数可表示为2n(n为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。

  偶数包括正偶数(亦称双数)、负偶数和0。所有整数不是奇数,就是偶数。

  在十进制里,我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数:个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。

  整数的性质及应用

  

如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。

  定义

  设a,b,c是给定的数,b≠0,若存在整数c,使得a=bc,则称b整除a,记作b|a,并称b是a的一个约数(因子),称a是b的一个倍数,如果不存在上述c,则称b不能整除a。

  整数整除性的一些数码特征(即常见结论)

  1与0的特性

  1是任何数的约数,即对于任何整数a,总有1|a。

  0是任何非零数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0。

  整除特征

  1° 若一个数的末位是单偶数,则这个数能被2整除。

  2° 若一个数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

  3° 若一个数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

  4° 若一个数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

  5° 若一个数能被2和3整除,则这个数能被6整除。

  6° 若一个数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7 的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。

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