等速螺线 等速螺线 等速螺线

等速螺旋(阿基米德螺线）

一、什么是等速螺旋

1、从点O出发的射线l绕点O作等角速度的转动。(wWW.NiUbb.nEt]

2、同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫等速螺旋 或阿基米德螺线。

二、等速螺线的极坐标方程

1、建立极坐标系

取O点为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系如上图。

2、建立参数方程

设点M的初始位置为（ρ0,0），点M在l上的运动速度为v,l绕点O转动的角速度为w，经过时间t后，l旋转了θ角，点M到达位置（ρ,θ）根据螺旋线的定义可得：

ρ-ρ0=vt, θ=wt

这就是以时间t为参数的参数方程。

3、建立极坐标方程

参数方程消去t后得：ρ-ρ0=vθ/w

这是所求得的等速螺线的极坐标方程。

设v/w=a

则ρ=ρ0+aθ

此为等速螺线极坐标的一般形式，ρ是θ的一次函数。

特殊情况下，ρ0=0时，ρ= aθ，ρ是θ的正比例函数。

三、ρ=aθ的图像

其中虚线为ρ和θ取负值时的图像

四、等速螺线的笛卡尔坐标系方程

1、极坐标系和直角坐标系的换算公式

x=ρcosθ

y=ρsinθ

ρ^2=x^2+y^2

tanθ=y/x

2、等速螺线的笛卡尔坐标系方程

由ρ=vt θ=wt

可得x=vtcosθ

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

y=vtsinθ

五、CREO下的参数方程

1、笛卡尔坐标系

第一个例子

s=v*t

angle=t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

图中：v=50

表示螺线的极径在0-50

之间变化，转角在360

度之内，当达到360°时

极径长度为50

当转过90°时，

t=90/360=1/4

s=50/4=12.5

当转过180时，t=180/360=1/2，s=50/2=25 第二个例子

s=50*t

angle=5*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

第三个例子

s=50*t

angle=60+3*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

第四个例子

s=50*t

angle=-60-2*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

2、圆柱坐标系（极坐标系）

r=50*t

theta=t*360

z=0

（柱坐标系的三个参数为r，theta，z）

此方程与第一个例子等价的。［WWW.NiUBb.NeT］

六、等速螺线的面积问题

1、扇形的面积公式

1S=R2θ S——扇形面积

R——半径

θ——圆心角，弧度

2、计算曲边扇形面积的数学模型

如上图，由曲线ρ=ψ(θ)，射线θ=α，θ=β围成曲边扇形，要计算其面积，取极角θ为积分变量，它的变化区间在，相应于任一小区间的窄曲边扇形的面积，可以用半径为ρ=ψ(θ)，圆心角为dθ的扇形的面积来近似代替，从而得到窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素：

1dA=2dθ 以此面积元素作为在闭区间上作定积分，便得所求曲边扇形面积的面积为：

β1 2dθ

α3、计算等速螺线的面积

如图，计算阿基米德螺旋θ变化区间为的一段圆弧与极轴围成图形的面积

根据数学模型，可得：

2π

A=

02π1122α2θ342dθ= αθdθ= =α2π3 002π

当α=10时，θ变化区间为时，等速螺线的柱坐标系参数方程为

theta=t*360

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

r=10*2*pi*t

等速螺线 等速螺线

（由theta化为弧度，即t*360*π/180=2*t*π）

则

44A=α2π3=100π3=4134.17

计算等速螺旋θ变化区间为的一段圆弧与极轴围成图形的面积

如下图：

根据等速螺线的定义起始点为0时的极坐标方程为，ρ= aθ。(WWw.nIUBB.NEt］如图此时的起始点位置为ρ0=2πα 由ρ-ρ0=vθ/w=αθ可得

ρ-2πα=αθ。于是改图像所示的极坐标方程为ρ=2πα+αθ=α（θ+2π）

此时，当α=10时，θ变化区间为时，等速螺线的柱坐标系参数方程为

theta=2*t*360

r=10*4*pi*t

（此方程表示螺线从圆心开始绕两圈）

如果只考虑外圈，不考虑图中的虚线部分，则参数方程为

r=2*π*10+10*2*π*t

theta=t*360

（此方程表示螺线从2πα点开始绕一圈）

下面计算此图形的面积

2π

A=

02π112α2(θ+2π)322dθ= α(θ+2π)dθ= 002π

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

等速螺线 等速螺线

(4π)3(2π)3A=50×?50×=33073.36?4134.17=28939.19

七、等速螺线的弧长问题

1、弧长元素

如图，设x，x+Δx为（a,b)内相邻的两个点，它们在曲线y=f(x)上对应的点为M,M'。（wWw.nIuBB.Net］当Δx足够小时，弧MM近似等于其对应的弦长，用Δs表示弧长，于是有

?s= ?由函数微分学可知，?x≈dx，?y≈dy则?s≈ds

由此可得直角坐标系下的弧长元素为ds= (dx)

2、各种形式方程下的弧长