解析几何高考题 高考解析几何 2020全国高考数学解析几何大题汇编答案

2014全国高考数学解析几何大题汇编

x221． 如图1-7所示，已知双曲线C－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，aAF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

图1-7

(1)求双曲线C的方程；

xx3(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点Pa2

|MF|在C |NF|

111．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a＋1.由题意，直线OB的方程为y，直线BF的方程为y＝xaa

c?c－a?2a3ccc1??－c)，所以B?22a.又直线OA的方程为y＝x，则A?c，a，所以kAB＝acac－2

3?1x222又因为AB⊥OB，所以·?－a＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1. a3

x0x－3xx(2)由(1)知a3，则直线l的方程为y0y＝1(y0≠0)，即yy≠0)． 33y00

3－32x0－3?3320?因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M2，，直线l与直线x＝的交点为 223y03y0??

（2x0－3）2

（3y0）（2x0－3）2（2x0－3）2|MF|24x22则·又P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1， 2|NF|3?3x0－3?9y9（x0－2）233y0＋3（x0－2）?441?24（3y0）2（2x0－3）2|MF|244（2x0－3）4|MF|223代入上式得＝，为定值． |NF|3x0－3＋3（x0－2）34x0－12x0＋93|NF|33x2y2

2． 已知椭圆C＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． ab

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

|TF|①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)最小时，求点T的坐标． |PQ|

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高考解析几何 2014全国高考数学解析几何大题汇编答案

a＋b＝2b，x2y2222．解：(1)由已知可得?解得a＝6，b＝2，所以椭圆C的标准方程是＝1. 62?2c＝2a－b＝4，

(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝

1m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2. m

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

x＝my－2，??22设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?xy ＋1.??62

消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝－24m，yy＝ m＋312m＋3m－0＝－－3－（－2）

－122m?－6x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝设M为PQ的中点，则M点的坐标为?，. m＋3?m＋3m＋3?

mm所以直线OM的斜率kOM＝－OT的斜率kOTM在直线OT上，因此OT平分线段PQ. 33

②由①可得，|TF|＝m＋1，|PQ|＝（x1－x2）＋（y1－y2）（m＋1）

4m?2－2?24（m2＋1）??2＝（m＋1）?m＋3－?＝. ?m＋3?m＋3??

|TF|所以|PQ|1（m＋3）24m＋1412m＋1＋＋4?≥m＋1?243（4＋4. 243

4|TF|当且仅当m2＋1，即m＝±1时，等号成立，此时 |PQ|m＋1

|TF|故当T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． |PQ|

3． 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|5＝PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且4

A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

88pp83．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝. pp22p

p858＋，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x. 2p4p

(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，

1|AB|＝m＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l ′的斜率为－m，所以l ′的方程为x＝－＋2m2＋3. m

44将上式代入y2＝4x，并整理得y2y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－y3y4＝－4(2m2＋3)． mm

222＋2m＋3，－故线段MN的中点为E?m，|MN|?m4（m2＋12m＋11＋|y3－y4|＝. mm - 2 -

高考解析几何 2014全国高考数学解析几何大题汇编答案

1由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝MN|， 2

222222?2114（m＋1）（2m＋1）??222222从而|AB|＋|DE|＝|MN|，即4(m＋1)＋?2m＋＋?2?m－1＝0，解得m4m??m44m??

＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

4． 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

x2y24．解：(1)由题意，椭圆C＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2. 42

c2故椭圆C的离心率e＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，a2

2yt2→→其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0C的方x02

程，得t2，故直线AB的方程为x＝2.圆心O到直线AB的距离d2，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

y0－2当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. x0－t

圆心O到直线AB的距离d＝2y22.又x＋2y＝4，t＝－，故 00x0（y0－2）＋（x0－t）2|2x0－ty0|

d＝22x0＋y0＋4x0?2x0＋2y0x0?2x0＋8x0＋162x0?4＋x0?x02.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

x2y25． 如图1-4所示，设椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，ab

|FF|2＝22，△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程； |DF1|2

(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．