阅读阅读在我看来,

数学是世界上最美的学科。

没有之一。

数学之美,在于它仅用最少的条件,以严谨的逻辑推导,得到精妙绝伦的结论。

最典型的例子莫过于欧几里得几何体系,仅仅用五条公设,就得到了从勾股定理到梅涅劳斯定理等等无数精彩的平面几何定理。

欧几里得,古希腊数学家,被称为“几何之父”

就好比著名的应县木塔,远看恢弘壮大、近看结构精美、仔细观察还会发现其中的卯榫交错、严丝合缝。

数学这座大厦同样经得起反复欣赏、来回推敲,最后发现实在是美不胜收。

应县木塔

但是我也非常清楚,有太多的学生乃至成年人,将数学看作洪水猛兽,闻之色变。有很多人对我说:

“你学得好,当然觉得有趣;我怎么学都学不好,肯定觉得数学可怕啊。”

我认为恰恰相反,只有发现数学之美、数学之趣的人,才能把数学学好。

但是怎么才能发现数学之美呢?

数学启蒙老师

很重要

启蒙老师,就是最早系统化地给孩子讲授数学的人。以前通常是由小学老师担当,但是随着对教育的重视,现在扮演这个角色的通常是家长或者早教机构。启蒙老师用怎样的方式为孩子开启数学世界的大门,显得尤为重要。

例如,在介绍数字的时候,有的人会把1、2、3……8、9、10作为前面十个数,让孩子用点数的方式练习,反复数到滚瓜烂熟,但是却只字不提为什么“9”后面的“10”变成了两个数字;然后将11、12……20这些数增加进去,用同样的方法让孩子练习,自豪地宣传孩子的数学能力“从10以内进步到20以内”,却忽略了所有自然数其实是用一套编码规律编成的。

更有甚者,将计算等同于数学,认为会加减乘除就是数学学得好,送孩子去一些“计算训练机构”学习快速计算的技巧。要知道这些速算往往是抛去了运算中的代数含义,而改用机械化的方式去处理运算。这样培养出来的孩子,数感会落后一大截,而计算上的领先却偏偏掩盖了这个缺点。

除了代数以外,几何方面也存在这样的问题。有的人满足于让孩子辨认不同的图形,只要分得清正方形和三角形,圆形和椭圆形,就当是学到知识。但是圆形和椭圆形,它们之间有什么关联呢?两个三角形可以拼成长方形、平行四边形、大三角形,分别又有什么条件,该怎么拼?这些在基础知识中延伸出去的思考,却是帮助孩子们在未来的数学学习中突飞猛进的关键。

上面所说的这些错误的数学启蒙方式,有这样的共同点:

将数学当作一门记忆的学问、一门经验的学科

因为把知识点生硬地切割成碎片,而忽略知识点之间的衍生、推导、深化等关系,更没有用到观察、假设、归纳、演绎等科学的思考方式,使得学生的数学大厦建筑在一片沙滩之上,自然会在中学的数学课上表现出听不懂、做不出、跟不上等种种问题。

例如,在一元二次函数这个章节里,函数的参数a、b、c分别对函数起到什么作用?这个知识点,本来可以通过代数和几何的结合来理解,进而将对称轴、极值等公式也一并推演出来。但是习惯了“记忆式学习”数学的学生,不仅要靠背诵课本的结论来解题,面对“绕一下”的难题更是束手无策。

我教过不少的学生,深刻地体会到数学基础不牢固对于后续学习的致命影响;而这里说的基础,绝不是指加减乘除的运算速度,也不是指将长方形的周长面积公式背得滚瓜烂熟。

这是需要从小培养的

数学化的思维方式

所以,我从女儿2岁起,就开始为她挑选数学启蒙绘本。今时今日的数学绘本品类已经非常丰富,远超于我小时候那个年代。这说明有很多有水平、有能力的人,投身于儿童数学教育之中去,是一件让人欣喜的事。但是品种虽然繁多,质量却依然参差不齐。

例如有的绘本,仅仅是通过动物之口,将小学课本的内容照本宣科讲一遍,就成了启蒙读物;有的虽然用了生动的童话故事来表达,却缺乏对知识的思考和联络。

在买了好多套数学绘本之后,我终于找到了一套在内容编排、知识点切入、思维引导方面都能够满足我期待的书——《汉声数学图画书》。

《汉声数学图画书》

《汉声数学》原是由一支美国一流的数学家、科普作家队伍在上世纪六十年代写成的数学系列绘本。欧美数学专业人士给它注入的数学基因,让它在众多的同类书籍中鹤立鸡群。

1989年,台湾汉声出版社取得这套书的版权,从此这套书就以《汉声数学》这个名字享誉中国亲子领域。除了精心翻译以外,汉声还做了大量的本土化改动,例如将本来使用的钱币替换成本地货币,将用英文字母等作为例子的内容替换成汉字等。

同时,汉声还编撰了一本非常详细的《妈妈手册》,用于帮助家长更好地使用这套书。这本手册再一次突显出这套书的特别之处:它绝不像一般绘本一样,读完其中文字就够了;如何能够理解数学家们编写时的思维,让孩子跟随大师的思路信步游历数学世界,是需要花一点功夫的。

《汉声数学图画书·妈妈手册》封面

私以为,《汉声数学》这套书,有以下几大特色:

重视概念,并强调概念的来源

概念是数学之本,没有清晰准确的概念,学习数学只能是镜花水月。但是很多数学绘本的作者,可能是担心低龄幼儿的接受能力有限,介绍概念时往往犹抱琵琶半遮面。《汉声数学》则不然,它不仅把每一册中的重点概念讲得非常清晰,而且将概念背后产生的逻辑娓娓道来。

就拿第一册——认识数字来说,另外一套经典绘本着重介绍1-9这些阿拉伯数字是指代多少东西、数字之间的顺序。虽说知识点是传达到位了,但是读者却知其然不知其所以然。《汉声数学》的《数是怎么来的?》通篇在讲这样的一个道理:先有数数的需求,后有数字的使用;世界上有各种的方式给下面这个数量命名,但代表的是同一个数量,它都比另一个代表“6”的数多1,比代表“8”的数少1。

《汉声数学图画书·数是怎么来的?》封面

图片选自《汉声数学图画书·数是怎么来的?》

这样去讲解数字这个概念,乍一看好像舍近求远,仔细揣摩才能感受到其中的奥秘之处:

一方面可以带着孩子感受数学之中的创造之美,而不是简单被动地接受数字有关的这一点点知识;二来从更高的角度为孩子打下根基,就好比油画大师教徒,从思想和意境出发,而不是从色彩线条入手;第三可以引导孩子自行思考,例如一个最简单却常考倒家长的问题——“为什么1+1=2”,就可以有自己的答案了。

又例如,《长短、高矮和宽窄》这一册,讲的是长度测量的概念。但是全书前三分之二的篇幅,都没有出现任何一个长度单位:厘米、米、英寸、码,一个都没有。它从长度测量在生活中的实际需求讲起,传达这样的概念:长度测量本质上就是用一致的标准去衡量不同长短的东西。这个标准可以是你的一指长,可以是一只鞋长,可以是国王的手掌长。最后话锋一转:但是上面这些方式都不够方便,所以我们有了公制测量系统。给我女儿读本书的时候,她刚刚4岁。她听完后,让我躺在床上不动,拿来一个枕头,一段接一段地量起来,然后告诉我:你身高3个枕头。听完这句话,我知道她已经理解这本书了,这就是《汉声数学》的奇妙之处。

《汉声数学图画书·长短、高矮和宽窄》封面

图片选自《汉声数学图画书·长短、高矮和宽窄》

多角度、多层次理解概念

研究数学,是一个从特殊到一般的归纳与提炼过程。如果仅仅是学习一大堆的数学知识点,就好比一直用放大镜去看《蒙娜丽莎》,只会觉得累,难以看出美,想法也难以升华。《汉声数学》正是用大师的眼光来审视这些初级数学概念,才能帮助孩子跳出原来思维的桎梏。

例如在《奇数和偶数》一书里,开篇不像其他书那样告知孩子“1、3、5、7……是奇数,0、2、4、6……是偶数”,而是花了很长篇幅介绍分类——人可以分成两类,动物可以分成两类,那数字如果要分成两类,该怎么分呢?通过观察,发现如果抓一把筷子,要刚好分完给大家,数量是2、4、6等等;另外一些数,包括1、3、5等等,就没法分成整对的数。由此,我们把数字分成了“能不能刚好变成整对的”两类,分别起名为“奇数”和“偶数”。

《汉声数学图画书·奇数和偶数》封面

图片选自《汉声数学图画书·奇数和偶数》

看,这就是《汉声数学》视角的独特之处。奇偶之分,可以认为是将整数分成2类的其中一种方式。那还有没有其他分成2类的方式呢?有没有分成3类的方式呢?很多数学的新思想正是用这种延展的思考方式发现的。

又例如在《多多少少,谈测量》里,开篇提出的问题是:怎么测量你有多喜欢吃某种点心呢?可以做一个表,找十种食物,排好次序。以后再来一样新的食物,就可以用来做测量,例如:今天吃的巧克力,我有5级喜欢,就是和酸奶差不多。同样,如果要测量一杯水的冷热,我们也需要一个测量工具和一些标准,那就是温度计。温度计和“点心测量表”的区别在哪里呢?在不同地方,不同时间,两次的冷热程度一样,温度计测出来的温度应该就一样。但是好吃程度可不一定,不同人测的结果不一样,同一个人心情不同可能也不一样。

《汉声数学图画书·多多少少,谈测量》封面

图片选自《汉声数学图画书·多多少少,谈测量》

所以,虽然“测量”这个概念很广,但是被测量的东西分成两种——像心情、感受等等是不可定量的,长度、重量、温度是可定量的。

这个结论似乎太显然,除了《汉声数学》以外,还没有谁在数学启蒙时如此去强调。但是不要小看了它:温度的可定量性由热力学第零定律确定下来;爱因斯坦的相对论甚至还推翻了常规意义下的长度、质量的可定量性呢。如何从多角度去看待一个简单概念,如何从看似显然的地方提炼出思想,需要漫长的培养过程。

与实际联系紧密,大量动手操作内容

数学是一门抽象的学科,但是数学学习的过程却离不开具象物体的辅助。这种具象与抽象的联系能力,是数学学习过程中一道极高的门槛。

例如,在解代数应用题时,能不能用线段图表达出来;解几何题时,能不能想象出其中的图形旋转、翻转后成了什么样子。缺乏这些能力的孩子,数学成绩很难提高。

《汉声数学》里动手操作的内容非常非常多。

例如在《重量与平衡》里,详细介绍了天平的制作方式,然后就可以自己用天平进行各种测量,理解重量、密度的概念;《奇妙的三角形》里,借助纸笔尺子剪刀等基本工具,一下子将角平分线、垂直平分线、中线、内心、外心等概念,不露声色地让孩子自己折、画出来,可以感受到数学的奇妙之处;还有像《直线、平行线、垂线》里用国际象棋棋盘、《椭圆》里用玻璃杯等生活用品来辅助理解概念;更不用说《折纸的几何》《猜一猜,算一算》基本就是一本实验书。

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图片选自《汉声数学图画书·奇妙的三角形》

操作性的内容有三个好处:

一是提高阅读的趣味性;二是在操作中感受领悟数学概念;三就是提高抽象和具象的联系能力。

对话式、提问式设计,强调自主思考

《汉声数学》系列自成一派的风格尤其强烈,使得它即使翻开节选任意一页,也很容易在一众同类书籍中被辨认出来。这种特色一方面来源于特别的画风,另一方面来源于平实的对话式语言。

几乎所有的儿童绘本都用故事的形式来呈现,但《汉声数学》系列却一个故事都没用,而是用第二人称的对话形式来呈现。这样的呈现方式,可以规避单线进行的故事对概念阐述的制约,才可以像前面所说,多层次、多维度铺展开来。

而在对话之中,包含了非常多具有启发性的设问。这些问题里,一部分是有唯一确定答案的,属于“练习型问题”;也有一部分没有确定答案,属于“思考型问题”。

例如在《三维求体积,二维算面积,一维量长度》中,就提了一个问题:“找两个空的纸箱,你知道哪一个比较大吗?”《分数是分出来的》里面,对6个小朋友分成两半的方法,已经提出了2种分法,最后再留下开放性的问题:“能不能再用别的方法呢?”这种提问式的学习方法,对于数学这门理解型的学科非常重要。

《汉声数学图画书·三维求体积,二维算面积,一维量长度》封面

图片选自《汉声数学图画书·三维求体积,二维算面积,一维量长度》

选题丰富,深入浅出,广泛涉及现代数学新领域

在一套面向低龄儿童的数学绘本里,出现了概率、函数、二进制之类的概念和内容,一定有人疑惑不解;如果连一些相当细分的领域,例如拓扑、图论、博弈论,都放了进去,肯定让大部分人认为匪夷所思。

但是《汉声数学》就是这么做的。大部分其他数学启蒙书系不涉及这些内容,原因是显而易见的:

一来考纲没有,二来这些知识点游离在既有的知识体系之外,显得可有可无。

但是把它们纳入进来的意义也是显而易见的:好比让小学生阅读世界名著,并不是指望他们能够马上理解、模仿甚至运用;而是陶冶情操,埋下种子,期待某一天可以发芽开花。

这些选题绝不是哗众取宠:当下最需要数学支撑的几个领域,例如人工智能和量化金融,正是高度依赖于拓扑和概率论。这不得不让人赞叹,这套五十年前选编的经典,其选题竟然丝毫没有褪色。

这些内容也绝不是生搬硬套。

例如《一人,两人玩的数学游戏》里,用几个简单的双人游戏,引出博弈思维;《概率知多少》中用的骰子和硬币,对于孩子来说也不难理解;作为拓扑学入门的《橡皮筋、棒球、甜甜圈——拓扑》,也做到了循循善诱。

正是因为有《汉声数学》的作者——一群数学功底深厚的数学家和教育家们——作为引路人,小读者们能够早早地了解到数学世界之大、之奇、之美,说不定能因此也成为一名数学家呢。

总结

《汉声数学图画书》作为一套启蒙级别的数学绘本,实在是特立独行,特点鲜明。

对于很多家长来说,如果用以前习惯的方式,翻开就给孩子逐字逐句地阅读,可能会被里面天马行空的内容所劝退;即使硬着头皮读完,大部分孩子可能因为无法吸收而失去兴趣。因此,对于这套书,建议家长们不要作为第一套、甚至唯一一套给孩子的启蒙读物。

孩子对数学有了初步概念以后,家长在做好备课工作,吃透了每一册的编写思路的前提下,逐步与孩子一起阅读,慢慢琢磨,一定能获益匪浅。

相信在大陆引入这套书后,小读者群体中一定会涌现出一批热爱数学、擅长数学的优秀人才。

笔者毕业于清华大学物理系,曾获得全国高中数学联赛一等奖、全国高中物理竞赛一等奖、华罗庚杯一等奖、希望杯金牌、泛珠三角联合物理竞赛一等奖、广州市高中力学竞赛一等奖、广州市初中化学竞赛一等奖等奖项

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