数学模型 生活中“隐藏”的数学模型

大家好，在上一篇文章中，我们谈到了郑泰分布对我们日常生活的指导和影响。在本期之后的三篇文章中，我们将与合作伙伴分享19个数学模型及其实际应用，深入探讨数学——“模型思维”，感受数学模型在我们生活和工作中的作用。今天我们先从六款车型开始，作为晚餐的前奏。它们是:“理性人模型”、“固定规则模型”、“自适应规则模型”、“正态分布模型”、“对数正态分布模型”和“幂分布模型”。

前三个是专门针对人的，我们先来关注一下。

理性人模型在经济学中被广泛使用。经常提到的“经济人假设”是理性人模型，它假设每个人都确切地知道自己想要什么，并为此采取行动。简而言之，你所做的事情应该由你的目的来解释。而如果你是一个理性的人，那么你会希望在系统中优化一定的量，以达到你目的的利益最大化。比如你想挣钱致富，那么理性的人会把钱的收益最大化；如果你想做慈善，你可以最大化帮助的人数。比如，一般情况下，一个理性的人在决定支出时符合“效用函数”，即支出U等于日常支出C的三分之二乘以房子支出H的三分之一。也就是总收入的三分之一花在房子上，其他总支出占三分之二。

虽然不代表你的年、月、周费用符合这个函数，但是从大规模、大数据的角度来看，这个模型可以观察甚至预测真实人群的消费倾向。有了这种理解，我们就可以很好地理解固定规则和自适应规则模型。

固定规则模型的人选择固定的行为模式并坚持下去，不管风雨。比如你现在知道了效用函数，你选择把三分之一的成本花在房子上，作为自己的原则。无论房价如何波动，无论价格如何波动，你坚持原则，那么你就是固定规则模型的人。

对于拥有自适应规则模型的人来说，他们做事有几个原则。他们灵活地选择行为模式，向周围的人学习，或者根据具体情况进行分析，以决定目前应该使用哪些规则，他们会适应环境的变化。

这三种模式没有优劣之分，可以让你对“人”有更复杂、更理性的认识。比如你现在是一家医院的院长，你发现你们医院的门诊房间太小了，每天接不了那么多病人。急诊室门诊应该翻倍吗？或者说，因为你的医院每天都人满为患，你应该加倍上门治疗和医疗费用吗？

有了这三个模型，你至少有以下感悟。第一，如果扩大门诊，理性的人会更多的选择这家医院就医。诊所虽然翻了一倍，但是来的人数很可能会翻一倍以上；而有固定规则模型的人，既然已经认定了这家医院，就不能扩大面积，也不能增加成本。他们还是要来。毕竟专家只有几个；对于有自适应规则模型的人来说，面积扩大了，我只是适应了一个更宽松的环境。如果面积不变，会有点拥挤。如果看病成本太高，那我就不用上吊了。世界上总有更合适的医院。我可以根据自己的情况和需要灵活改变。

最终的结果是，无论你作为院长采取什么措施，病人都会适应现状。很小的波动之后，是拥挤还是拥挤，就是不同人之间互动的“平衡状态”。正如陈所说:“事常改变人，人却不能改变事。”

接下来是三个数学分布模型，很有意思。

首先，正态分布，在张文的最后一篇文章《正态分布教你如何出类拔萃》中，已经非常详细地分享了“均值”、“方差”和“标准差”，它对我们的人和群体的重要作用在此不再赘述。今天重点分享剩下的两个:对数正态分布和幂律分布。

对数正态分布是独立随机事件相乘形成的图形(正态分布是加法)，图像是一个长尾巴的不对称“时钟”(如下图)。与郑泰分布相比，极端事件更容易发生。

比如你现在是公司的总经理。为了激励员工努力工作，你规定如果上一年取得优异成绩，今年加薪10%。这样会使员工的工资服从对数分布。这带来了一个重大的变化。如果员工A的工资比员工B高，结果比去年的员工B好，那么A的工资会增加10%，进一步拉大工资差距；而且如果B的表现比A去年好，那么B 10%的涨薪会缩小工资差距。但是因为A的工资比B大，所以导致工资的上升趋势大于下降趋势。在有限的时间内，公司人员的工资差距会迅速扩大，贫富差距会日益加大。

这是与随机变量相乘的结果。但如果每年给一个固定的奖励，比如一万元，工资差距就不变。作为管理者，是要分贫富还是保持工资不变，取决于你选择的数学模型。

请注意，上面分布的随机变量有一个特点，就是去年的表现和今年的表现没有相关性，并且相互独立。而如果两者相互关联，相互作用，系统就会发生变化，成为“权力分配”。

幂律分布，如下图所示，是“非独立”随机变量相互作用的结果。这些变量都有紧密或松散的联系，相互影响和制约。一个小小的改变，就有可能引发系统的大震荡。

最著名的权力分配是马太效应。比如现在很流行的各大音乐平台和视频直播软件，都有排名。每个选择听或看某个节目的人，往往受到排行榜排名的影响，相邻两个人相互影响的因素也比较大。这样一来，流行的主播或者音乐作品就有几千万甚至上亿的粉丝，而没有上榜的作品就很少被关注。马太效应解释了为什么富人越富，赚钱能力越大，后续财富积累越快。解释了为什么大城市人口在增加，小城市人口很难留住人才的命运。

另一方面，权力分配的特点也决定了复杂系统的“自组织”现象。我在“比蝴蝶更重要”和“系统”的文章里讨论过，详细分享了多米诺系统和“蝴蝶效应”，这里就不赘述了。但还是有几个应用值得考虑。比如核电站的安全，地震，森林火灾等。，这些复杂的系统通常看起来对人和动物无害，但一旦出现轻微的波动，就可能出现巨大的灾难和雪崩灾难。服从幂律分布的复杂系统大大增加了极端事件发生的概率。

好了，以上是今天分享的六个数学模型，希望对你有所启发。下周继续分享7个数学模型。这是与你分享的第473篇文章。欢迎阅读。下周见。

注:本文专业数据来自万伟钢铁精英日班。