根号40 神秘的根号（-1）

从一到无限

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神秘的

现在，让我们做一些高级算术。22得4，33得9，4416，5525。所以，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。[1]

但是负数的平方根是多少？这个表达是什么意思？

如果你试着用理性的方式去理解这样一个数，你一定会得出这样的结论:上面的表达没有任何意义。我们可以引用12世纪印度数学家婆罗门·巴斯卡拉的话:“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。所以正数有两个平方根:一个正数，一个负数。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”

但是数学家是固执的人。如果一些看起来没有意义的东西不断出现在它的公式中，他们会尽力赋予它意义。很明显，负数的平方根继续出现在各个地方，无论是过去数学家思考的简单算术问题，还是20世纪相对论框架下的时间与空统一问题。

第一个把看似毫无意义的负数平方根写入公式的战士是16世纪的意大利数学家卡丹。在讨论10是否可以分成两部分乘积等于40时，Caldan表明，虽然对这个问题没有理解，但如果把答案写成5+

5-这两个荒谬的表达就可以了。[2]

虽然卡尔丹承认这两个表达没有意义，是虚构的，但他还是写了下来。

如果有人敢写下负数的平方根，就解决了把10除以2的积等于40的问题，即使它们是虚构的。一旦破冰，负数的平方根，或者卡尔丹所说的“虚数”，被数学家们越来越频繁地使用，尽管它总是被保留着，应该找适当的借口。在德国著名科学家欧拉1770年发表的代数著作中，我们看到了虚数的大量使用。但令人欣慰的是，他补充了以下评论:“所有像，……这样的表达式都是不可能的或虚数，因为它们代表负数的平方根。对于这样的数字，我们也许可以断言它们既不是无，也不是多或少。它们纯粹是虚幻的或不可能的。”

然而，尽管有这些诽谤和借口，虚数很快就像分数或根一样成为数学中不可避免的东西。不使用虚数的话，几乎不能动。

可以说虚数族代表了实数的虚构镜像。就像我们可以由基本数1生成所有实数一样，我们也可以把基本数作为虚数(通常用符号I表示)，由它生成所有虚数。

不难看出，

=×=3i，

= × =×=0.246…i...我等等。

所以，每个实数都有自己的虚伙伴。我们也可以把实数和虚数结合起来形成这样的表达式，就像Caldan一开始做的那样。这种混合形式常被称为复数。

进入数学领域两个世纪后，虚数仍被包裹在一个不可思议的谜团中，直到两位业余数学家——挪威测量员韦塞尔和巴黎簿记员机器人阿甘德(Robot Argand)——最终对虚数做了简单的几何解释。

根据他们的解释，复数，例如3+4i，可以表示为图10，其中3对应于水平距离，4对应于垂直距离。

事实上，所有实数(无论是否为负数)都可以用横轴上的点来表示，所有纯虚数都可以用纵轴上的点来表示。我们把一个实数(代表横轴上的一个点)，比如3，乘以虚部I，得到纵轴上的纯虚数3i。所以一个数乘以I，几何上相当于逆时针旋转90°。(见图10)。

图10

如果你用3i乘以I，你要旋转90°，结果是回到横轴，但是现在是负的一边。因此，

3i × i == -3，

或者

= -1。

“I的平方等于-1”比说“两个逆时针旋转90°变成反方向”更容易理解。

当然，同样的规则也适用于混合复数。3+4 I乘以I，我们得到

(3 + 4i)i = 3i + 4 = 3i -4 = -4+ 3i .

从图10可以立即看出，点-4+3i对应于围绕原点逆时针旋转90°的点3+4i。类似地，从图10中可以看出，数字乘以-i只是绕原点顺时针旋转90°。

如果你还觉得虚数蒙上了神秘的面纱，那我们来解决一个简单的问题，虚数有实际应用来揭开它。

有一个喜欢冒险的年轻人在他曾祖父的最后一份手稿中发现了一张羊皮纸，上面揭示了一个隐藏的宝藏。它是这样写的:

乘船到北纬西经，可以找到一个荒岛。岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树。[4]还有一个我们用来绞死叛逃者的旧绞刑架。从绞刑架走到橡树上，记住你走了多少步；到了橡树，右转走那么多步，堆在那里。然后回到绞刑架上，朝松树走去，记住所采取的步骤。当你到达松树时，以直角向左转，走这么多步，然后也在那里堆积。挖在两堆中间找宝。

这些说明清晰明确。于是，小伙子租了一条船，驶向南太平洋。他找到了这个岛，还有橡树和松树，但令他非常失望的是，绞刑架不见了。这时候我写稿子已经太久了，风吹日晒雨淋已经把木架的木头完全腐烂，归咎于泥土，没有留下它原来位置的痕迹。

我们富有冒险精神的年轻人陷入了绝望。他又气又急，开始在地上胡乱挖掘。但是这个岛太大了，他所有的努力都白费了。他别无选择，只能回家。现在，宝藏可能还埋在岛上！

这是一个不幸的故事，但更不幸的是，如果这个年轻人懂得一些数学，尤其是如何使用虚数，他也许能找到宝藏。现在让我们去找他，尽管对他来说已经太晚了。

图11用虚数寻宝

把这个岛想象成一个复杂的平面。一个轴(实轴)穿过两棵树的根，另一个轴(虚轴)垂直于实轴(见图11)。以两棵树之间距离的一半作为我们的长度单位，可以说橡树位于-1点，松树位于实轴上+1点。我们不知道绞刑架在哪里，不妨用希腊语字母γ(这个字母看起来像绞刑架！)来表示它的假定位置。因为这个位置不一定在两个轴中的一个轴上，所以γ应该看作复数，即γ = a+bi。

现在我们来做一些简单的计算，不要忘记前面提到的虚数的乘法规则。如果绞架在γ，橡树在-1，它们之间的方位距离是

–1–Γ=–(1+Γ)。

同样，木架与松树的方位角距离为1–γ。根据上述规则，将两个距离顺时针(右)和逆时针(左)旋转90°，即分别乘以–I和I，从而得到我们打入的两个桩的位置:

第一堆:(–I)[–(1+γ)]+1 = I(γ+1)+1，

第二堆:(+I)(1–γ)-1 = I(1–γ)-1。

因为宝在两堆中间，所以要找出上面两个复数之和的一半，即

1/2[I(γ+1)+1+I(1–γ)–1]

= 1/2(iγ+I+1+I–Iγ–1)= 1/2(2i)= I .

可以看出，以γ为代表的绞架的未知位置已经从我们的计算过程中消失了。无论绞架在哪里，宝藏都必须在+i。

所以，如果这个年轻人能做这么简单的数学运算，他不需要全岛挖掘，只需要在图11中标记有x的地方寻宝。

如果你仍然不相信，你不需要知道绞刑架的位置就可以找到宝藏。你可以在一张纸上标出两棵树的位置，然后假设绞刑架有几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的说明去做。你总会得到在复平面上对应+i的位置！

利用-1的平方根的虚数，我们还发现了另一个隐藏的宝藏:我们惊奇地发现，普通的三维空空间可以与时间结合成四维几何规则支配的四维空空间。我们将在下一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论，然后我们将回到这个发现。

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[1]其他很多数字的平方根也很好找。比如= 2.236 …，因为(2.236…)×(2.236…)= 5.000…；= 2.702 …，因为(2.702 …) × (2.702 …) = 7.3000 …

[2]

[3]为保密起见，此处省略文件中实际给出的经纬度数字。

[4]出于与之前相同的原因，此处更改了树的名称。热带宝岛上显然还会有其他种类的树。