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无理数的发现——第一次数学危机

大约在公元前5世纪，不可通约性的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派非常重视对自然界和社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四大艺术”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为宇宙中的一切都可以归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派证明了毕达哥拉斯定理，但也发现有些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比(不可公度性)，比如直角都是1的直角三角形。这种悖论直接违背了毕学派的根本信条，导致了当时认知的“危机”，从而导致了第一次数学危机。

公元前370年，比西学派的欧多克索斯通过给比例一个新的定义解决了这个矛盾。他处理不可公度量的方法出现在欧几里得的《元素》第五卷。欧多克索斯和戴德金德1872年对无理数的解释与现代解释基本一致。中学几何教材中对相似三角形的处理仍然反映出不可通约性带来的一些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了巨大的影响。这说明几何的一些真理与算术无关，几何量不能完全用整数及其比值来表示，而是可以用几何量来表示。整数的权威地位开始动摇，而几何的同一性上升。危机也说明，直觉和经验不一定可靠，但推理证明是可靠的。从此，希腊人开始重视解释和推理，从而建立了几何公理体系，这是数学思想的一次伟大革命！

无穷大是零吗？第二次数学危机

18世纪，微分法和积分法在生产和实践中得到了广泛而成功的应用，大多数数学家对这一理论的可靠性毫不怀疑。

1734年，英国哲学家兼大主教贝克勒出版了《一个不相信正统的数学家的分析师或降临节》，指出微积分的基础——无穷小问题，提出了所谓的贝克勒悖论。他指出:“牛顿在求xn的导数时，首先给X一个0的增量，应用二项式(x+0)n，从中减去xn得到增量，再除以0得到xn的增量与X的增量之比，然后让0消失，从而得到最终的增量比。这里牛顿已经办理了违反矛盾律的手续——假设X有增量，增量为零，即假设X没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，被人叫着挥之不去是荒谬的。“dx是失去数量的灵魂”。无穷小到底是不是零？无穷小及其分析是否合理？这在数学乃至哲学领域引起了一个半世纪的争议。导致了数学史上的第二次数学危机。