数学笑话 【物理数学】杨振宁经典数学笑话论数学和物理的关系

1926年6月6日，薛定谔在给洛林的一封长信中认为，这个没有复数的方程(2)“可能是一般的波动方程”这时，薛定谔正试图消除复数。然而，同年6月23日，薛定谔意识到这是不可能的。在文[5]中，他首次提出:“它是时间的复函数空，满足复时变方程(1)。而(1)叫做实波动方程。内在原因是描述量子行为的波函数不仅有振幅，还有相位，相互关联形成一个整体，所以量子力学方程必须用复数。再比如1918年H.Weyl发展的规范理论，因为没有考虑相位因子，问题只在实数范围内处理，所以被否决。后来Fock和London用虚数I的量子力学对其进行了修正，Weyl的理论复活了。20《数学通讯》，第21卷第2期，1986年6月，牛顿力学中的量都是实量，但在量子力学中，必须用复数。杨振宁和米尔斯在1954年提出了非交换规范场理论。只有注意到这一点，韦勒规范理论中的相位因子才能推广到李群中的元素，从而完成一次历史性的变革。1959年，阿哈诺夫和博姆设计了一个实验，表明矢量势和定量势一样，在量子力学中是可以测量的，打破了“可测量的物理量必须是实数”的框架。这个实验相当困难，最终由大村和他在日本的同事在1982年和1986年完成。这样，物理学中的可测性最终延伸到了复数。

令我惊讶的是，杨振宁教授预测下一个目标将是把四元数引入物理学。自1843年爱尔兰物理学家、数学家哈米顿发现四元数以来，他自己用了余生试图将四元数系统应用到数学和物理中与复数系统一样广泛的领域，从而开启了四元数的世纪。但结果令人失望。人们曾经评论说，这是“爱尔兰的悲剧”。到现在为止，一个大学数学系的毕业生可能对四元数根本不了解，充其量只是一个非交换代数的例子。我还记得，1986年春天，钱学森在给中国数学会主席王元的信中建议多学学计算器，把研究“四元数分析”(复变函数理论的延伸)的工作降格为“上个世纪”。总之，和很多数学家一样，我认为四元数的发现只是一个“抽象的数学产品”，不会有多大用处。

杨振宁向我解释了他的想法:物理学离不开对称性。除了几何对称，还有代数对称。看看四元数a+bi+cj+dk，它的基本单位满足i^2 = j^2 = k^2 = 1，而ij = k，jk =i，ki = j；ij = Ji，JK = kj，ki = ik .像这样的对称性，在物理中经常可以遇到。问题是这种四元数对称性在物理现象中并没有得到真正的应用，物理现象中的一些对称性也没有找到基本的数学起源。最近，等人的一篇文章说，“我在1977年发表了一篇文章——欧氏四维空间上Su (2)规范场的自对偶条件，推广了代数几何中稳定丛的解析处理理论。我还没问过数学家，也不知道这是怎么回事。很多著作，包括用四元数表示的物理理论，都可能在这个交换中逐渐浮现。”。

杨振宁先生还说，至于复变函数理论对四元数解析理论的形式推广，由于四元数的乘积是不可交换的，导数不能唯一确定，所以不会有好的结果。现在也有物理学家用四元数写描述现有物理定律的书，并没有引起太多关注。未来用四元数表示的物理定律将是一组非线性微分方程，其解的对称性必须用四元数表示。所以杨先生认为“爱尔兰悲剧会变成喜剧”。

4.“双叶”比喻

数学和物理的关系应该很密切。数学系以外的课程中，物理系开设的数学课程最多也是最深的。“物理学的公理化和数学化”曾经是许多大学学者追求的目标。然而，擅长在物理中运用数学的杨振宁教授认为两者有很大的区别。他有一个形象的比喻“双叶”来说明数学和物理的关系，如下图所示。他认为数学和物理就像一对“对立”的树叶。它们在基部只有很小的共同部分，大部分是相互分离的。杨振宁先生解释说，“他们有不同的目标和价值观，也有不同的传统。在他们的基本概念上，他们惊人地分享了一些共同的概念。即便如此，每个学科还是在按照自己的脉络发展。」

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ID:浣秋五里