伯努利方程 【微课】伯努利方程（修订版）

将流线方程引入方程(3)可以得到:

（5）

注意到:

这个公式适用于物理力转化为动力的问题，最常见的问题是重力。

如果计算中使用的坐标系的z轴与重力方向一致，那么(27)也可以写成:

（28）

2.4无涡流场中的非定常伯努利方程

在无旋场中，因为速度场是无旋的，所以必然存在速度势函数，这使得:

（29）

以组件形式编写，即:

等式(1)中的不稳定项可以写成:

同样，动量方程中Y和Z方向的非定常项可以写成:

与前面的处理过程一样，将x方向的非定常项乘以dx，将y和z方向的非定常项分别乘以dy和d z，然后将三者相加，得到:

在没有旋流的伯努利方程(26)的左边加上这个项，然后积分得到非定常伯努利方程:

(30)

注意方程(27)右端的常数项被改写为函数，但这个函数与空之间的坐标无关，只与时间有关。

2.5可压缩流中的伯努利方程

上述伯努利方程都是在不可压缩流场中建立的，可压缩流场中也有伯努利方程，但它们的来源是直接从能量方程得到的，而不是从动量方程积分得到的。能量的概念起源于亚里士多德的“生命力”概念。17世纪后期，莱布尼茨发现引力势能之和与动能之间存在守恒关系。18世纪，丹尼尔·伯努利和欧拉发现流体中的压力势能和动能之间存在守恒关系。19世纪中叶，迈耶发现了能量守恒关系，进而宣布了热力学第一定律。但可惜无法检验流体力学中能量方程是谁最先提出的，所以这里只能直接用这个方程，不能详细阐述它的历史。绝热和理想流体的能量方程是:

（31）

右端项可以分解为:

（32）

否则:

（33）

同时，连续方程是:

（34）

将(32)代入(31)，将(34)代入(33)，然后将(31)和(33)相加，得到:

（35）

当流量稳定时，等式(35)的右端为零，可通过以下方式获得:

（36）

注意到:

（37）

有:

（38）

那么(36)可以写成:

（39）

或者:

（40）

方程(40)和欧拉给出的伯努利方程很像，所以很好记。在上述公式的推导中引用了理想气体的状态方程、比热比的定义以及恒压比热和恒容比热的关系:

此外，我们引入焓的定义:

（41）

从(36)可知:

（42）

即:

（43）

这个方程在形式上与不可压缩流的伯努利方程相同，只是用焓代替压力。这是可压缩流理论中非常常见的方程，其中h是静态焓和总焓。

以上推导是由简单到困难得出的，也是符合历史上发现顺序的一种方式。另一种推导方法是先给出可压缩流的伯努利方程(36)，然后引入热力学关系:

从这个关系可以看出，在理想的不可压缩流中，熵和密度都是常数，所以内能也是常数。因此，如果将方程(36)中的常数E移到等号的右端，乘以密度，那么方程(36)将化为方程(14)，从而可以得到不可压缩流的伯努利方程。

三、伯努利方程的应用

伯努利方程在流体力学中应用广泛，如测量流场某一点流速的皮托管，测量管道内流速的文丘里管等。

图4皮托管速度测量原理

皮托管用于测量流场中的流速，其理论基础是方程(15)所示的伯努利方程。从等式(15)可以知道，只要知道流场中某点的总压和静压，就可以计算该点的流速。皮托管利用这个原理来测量流场的速度。图4是皮托管的示意图:两个不同直径的同心管套在一起，中心细管开口在顶部，外粗管开口在管的侧面。将套管放在流场中，让顶部开口迎风，并尽量使管道轴线与来流管线平行，然后侧开口应与来流管线平行。由于来流速度在顶部开口处停滞为零，并与侧开口处局部流场的静压相等，因此用这种方法可以同时得到总压和静压。在测量这两个压力之后，可以通过使用等式(15)获得局部流速。

皮托管是法国工程师皮托在1732年设计的，比丹尼尔·伯努利提出伯努利原理早6年，比欧拉写出伯努利方程早25年。当时水利专家对河流流速的看法是“水深流急”，即水深越深，流速越快。皮托顿悟了，想出了用两根玻璃管测量流速的方法。Pito的两根玻璃管，一根垂直于水流，另一根弯曲90度。我们现在知道这两个玻璃管其实是静压管和总压管，两者是有高度差的。虽然当时还没有提出伯努利原理，但皮托假设在这个高度差上，流速等于自由落体速度，甚至得到了与伯努利方程相同的结果。后来在1858年，另一位法国工程师达西将伯努利方程引入皮托管设计，给皮托管一个正确的理论解释，并对皮托管进行了改进，使其成为一种广泛使用的速度测量工具。后来在20世纪初，经过普朗特等人的精心研究，由同轴圆筒组成的普通皮托管设计逐渐固定，因此皮托管中的静压管常被称为普朗特管。

图5文丘里管流量测量

文丘里管通常用于测量管道流量。这种测量装置是由意大利物理学家和学者文丘里在1797年设计和制造的。如图5所示，公式(15)可以分别写在点1和点2，然后适当地变换。

（44）

同时，点1和点2处的流量相等:

（45）

这里a代表管道的横截面积。假设点1和点2的截面积和流体密度已知，结合方程(44)和(45)测得点1和点2的压差后，可以求解点1和点2的速度，进而计算出管道的流量。

图6低速翼型升力产生的机理

伯努利方程常用来解释“飞机为什么飞行”这个问题。如图6所示，对于沿翼型上下流动的两个气流，上部气流管变窄，局部速度增加，压力降低；下部气流管变宽，局部速度降低，压力升高，从而在上、下机翼表面之间产生压差。合力有一个向上的分量，就是升力。当升力大于重力时，飞机就会飞行。

以上详细介绍了伯努利方程的来龙去脉和几种变型，希望对大家有所帮助！

参考文献:

[1]小约翰·D·安德森，《空气动力学基础》[M]，麦格劳·希尔，2001年。

[2] L.D. Landau，E.M. Lifeshitz，流体力学[M]，理论物理教程第6卷，世界图书出版社，1999。

[3]布朗，亨利·达西和皮托管，国际工程历史和遗产，罗杰斯和弗雷德里克编辑，ASCE，莱斯顿，弗吉尼亚州，第360-366页。

龙按指纹关注流体中文网微信官方账号

请联系webmaster@cfluid.com进行咨询和提交