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三角形内接圆 数学学习丨为什么一个圆的内接正三角形面积最大?

当圆的内切三角形面积最大时,为什么圆是等边三角形

设半径为R,内接三角形面积的圆

S=(1/2) a b sinC=a b c/(4r)

但是

a=2r sinA

b=2r sinB

c=2r sinC,

∴S=2r^2 sinA sinB sinC

=2r^2辛纳辛纳(π-A-B)

=2r^2辛纳辛纳(A+B)

=2r^2新浪网(新浪网+新浪网)

=2r^2 (sin^2 A sinB cosB + sin^2 B新浪cosA)

=r^2 (sin^2 A sin2B + sin^2 B sin2A)

=(r^2/4)[(1-cos2a)sin2b+(1-cos2b)sin2a]

=(r^2/4)[sin2b+sin2a-sin(2a+2b)]

=(r^2 /4) (sin2B + sin2A + sin2C)

显然,当sin2A = sin2B = sin2C时,s最大;

此时,a = b = c = 60

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