最简形矩阵 90%以上的人会弄错的行最简形矩阵

行阶梯矩阵和行最简矩阵是求解线性方程组中两个非常重要的概念。特别是在简化系数矩阵或增广矩阵时，很多学生往往是将最简单的矩阵简化后，用一句话就得到原方程的解。但是学生简化的往往不是最简单的矩阵！

本文将对行阶梯矩阵和行最简矩阵进行全面的解释。

1.行阶梯形矩阵

图1所示的矩阵是一个行阶梯矩阵。

图1。行梯形矩阵示意图

对于图1中的行阶梯矩阵，在从左上角到右下角的第一层阶梯上有一个元素2；第二步有一个元素1；第三步有两个元素1和0。

那么行阶梯矩阵有什么特点呢？换句话说，如何判断一个矩阵是否是行阶梯矩阵？

行梯形矩阵有四个特征:

阶梯的走向必须是从上至下，且新的阶梯必须位于上一个阶梯的右边。图2是阶梯的形状示意图：

图2。梯形示意图

元素全为零的行都在最下方一层阶梯的底部。如图1，第四行元素全为0，且位于最下方第三层阶梯的底部。除第一层阶梯外，其余阶梯的左部元素全为0，且阶梯上的第一个元素非零。如图1的第三层阶梯，第三层阶梯左部的两个元素全为0，且第三层阶梯上的两个元素中第一个元素为1，是非零的数字。每一层阶梯包含且仅包含一行！如第二层阶梯仅包含矩阵的第二行，第三层阶梯仅包含矩阵的第三行。

判断一个矩阵是否为行阶梯矩阵的方法是在满足后三个特征的基础上画出正确的阶梯形状。

根据行阶梯矩阵的四个特征，您可能希望判断图3中的四个矩阵中的哪一个是行阶梯矩阵。

图3。判断行阶梯矩阵

2.引入行阶梯形矩阵的目的

行列式和矩阵是求解线性方程组时提出的概念。自然，行阶梯矩阵的引入也与线性方程组有关。

求解多元线性方程组时，往往需要对方程组进行简化，以达到消元的目的。

如果用变系数组成的矩阵的变化来反映求解多元线性方程组的简化过程，那么这个矩阵的变换过程就会涉及初等行变换！

行阶梯矩阵中的“行”字就是由此而来的，即通过有限初等行变换从一个系数矩阵中得到。

引入行阶梯矩阵的目的是判断一个线性方程组是否有解，如果有，有几组解。请看图4中的例子。

图4。引入行阶梯矩阵的目的示意图

3.行最简形矩阵

引入行阶梯矩阵的目的是判断线性方程组的解，引入行最简矩阵的目的是快速得到线性方程组的解。

图5示出了行阶梯矩阵和行最简单矩阵之间的关系。

图5。行阶梯矩阵与行最简矩阵的关系

根据图5，只有当齐次线性方程具有非零解或者非齐次线性方程具有解时，才有必要通过初等行变换将行阶梯矩阵简化为行最简矩阵。

请参见图6如何将第2节中的行阶梯矩阵转换成最简单的行矩阵。

图6。行阶梯矩阵到行最简矩阵的变换

根据图6，我们可以得到关于最简单的行矩阵的两个特征。

行最简形矩阵也是行阶梯形矩阵，满足行阶梯形矩阵的四个特点。在行最简形矩阵中，每个阶梯的第一个元素为1，且阶梯的第一个元素所在列的其它元素均为0！

图7中的矩阵a和矩阵b都是行最简单的矩阵，而矩阵c和矩阵d不是行最简单的矩阵。

图7。行最简单矩阵的判定

最简单的行矩阵服务于线性方程的一般解，下一版将带来线性方程的解。

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