高中数学｜巧用隔板法秒杀排列组合问题！

考君说：众所周知，排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，一直是广大同学的噩梦。今天就来解决大家的噩梦啦！

考君曾经在课上问过同学们这样一道排列组合题：“有7个同学从左至右排成一排照相，小号同学因为太矮不能站最中间，因为自卑不能和高大帅气的小辉同学相邻，又必须和他的好基友大号同学挨在一起，问一共有多少种排法？”同学们一时面面相觑，呆了3秒，异口同声地说：“小号滚出去！！！”

虽然这是学生们的日常玩笑，但也侧面反应出了排列组合题的“可怕”。不过没关系，今天考君就给各位同学带来号称排列组合中三大神器之一的“小隔板”。隔板虽小但是却有大用途。对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到秒杀的功效。在同学们印象中隔板法是这样的：①有若干个相同的元素；②将这些元素有序地分为几组，且每组中至少有一个元素；③元素不能有剩余。没错，这是隔板法基本模型的三大条件。但今天考试君要告诉各位同学的是，只要是相同元素有序分组问题，我们都可以用隔板法来解决，下面我们通过几个典型例题来进行分析：

1、基本模型：直接利用隔板法

【例1】现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？

【思路点拨】这道题满足隔板法基本模型的三大条件，所以我们可以直接应用隔板法。首先我们将7个小球排成一排。如下图所示，在7个小球中间一共有6个间隔，在这6个间隔中我们挑出3个间隔插入隔板，这样我们就将小球分成了四份，并且每一份都至少有一个小球。接着我们将这四份小球按从左到右的顺序依次放入1-4号四个盒子中，就得到了对应的一种放法。

○○○○○○○

这样一来，每一种隔板的插法就对应了一种小球的方法。6个间隔中插入3个隔板的插法共有种，即本题共有20种不同的放法。

【方法总结】将个相同的元素有序的放入个盒子中（不允许空盒），相当于在个间隔中插入个隔板，因此不同的放法与不同的隔板插法种数相同，共有种放法。这里的是组合数种的基本公式，其计算公式为 。

这是隔板法的基本模型，同学们要熟练掌握基本模型应用的条件，原理还有操作，最后记住这个很6的结论，这样这类型的题目都可以迎刃而解。接下来考试君要带你们进入更高级的模型啦。

2、变式（1）：受限制分组问题

【例2】现有12个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放两个球，问有多少种不同的放法？

【思路点拨】神马？纳尼？两个球？？那就不能直接用隔板法了啊。这可愁坏了考试君，每个盒子要两个球，要这么多球有个球用呀！要是这些盒子里面本身都有一个球那该有多好，这样每个盒子我只要至少放一个球就可以啦。诶，等等，也就是说只要让每个盒子里提前都装入一个球，那就可以用隔板法了吼。

有了！聪明的考试君先拿出4个球，分别装入四个盒中，现在每个盒子里都有1个球了！这样一来问题就变成了将剩下8个相同的球，有序地装入四个盒子中，每个盒子中至少放入1个球，有多少种放法？这还不简单，直接应用刚才基本隔板法模型的结论，在7个间隔中插入3个隔板，一共有种放法。

【方法总结】本题为隔板法的变式，原理在于需要先在每个盒子中放入一定数量的小球，再转化为隔板法的基本模型。总结如下：将个相同的元素有序的放入个盒子中（每个盒子中至少放入个元素，），需要先在每个盒子中放入个元素，再将剩余元素利用隔板法放入个盒子中。

相信聪明的你已经掌握了这种操作了，接下来跟着考君我们再看一道题目：

【例3】现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？

【思路点拨】聪明的你想必已经看出了一些端倪。这道题和例2有些类似，必须要先在某些盒子中放入某个数量的小球，才能转化为隔板法解决。比如2号盒子中最终至少要有2个小球，所以考试君在2号盒子中先放入1个球。同理在3号盒子中先放入2个球，4号盒子中先放入3个球。这样保证每个盒子中只需要再至少放入1个球就可以达到要求。故对剩余6个球用隔板法放入四个盒子中，共有种放法。

【方法总结】本题同样为隔板法的变式，总结如下：当每个盒子均不是空盒且元素数量要求不同时，我们需要先放入一定数量的元素，使得每个盒子中只需要再至少放入1个元素就可以达到要求。再对剩余的元素利用隔板法放入盒子中。

等等，同学看你骨骼清奇，必定是学霸，先别急着走，考君要出大招啦，来我们一起来看一下最后一种题型：

3、变式（2）：允许有“空盒”问题

【例4】现有8个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，允许出现空盒，问有多少种不同的放法？

【思路点拨】神马？纳尼？允许空盒？？怎么又变啦？？？这说变就变跟广州春天的天气有什么区别！明明就是想搞死考试君嘛！考试君又陷入了深深的沉思中…不能直接用隔板法，那如果用完隔板法之后再从每个盒子里面拿出一个球出来行不行？可是这样就变成了只分了5个小球。正当我一筹莫展的时候，小号同学拿着另外3个相同的小球走了过来…

有了！你的机智小伙伴考君上线了！“小号小号，你把3个球借我，让我用隔板法分个球”。成功地借到了3个球之后，这时候我们就可以这样来操作。加上原来地8个球，现在共有11个球，利用隔板法将它们放到三个盒子中，共有种放法。对于每一种放法，考试君都从每个盒子中拿出一个球还给小号同学。当盒中分到一个球之后还回1个球，该盒实际上是空盒；分到两个球后还回1个球，该盒实际上只含一个球，依此类推。这样就成功地将8个相同的小球分入了三个盒中，允许有空盒的共有45种放法。

【方法总结】将个相同的元素有序的放入个盒子中（允许空盒），需要先通过外部力量另外借到个相同的元素，转化为将个元素用隔板法放入个盒子中（最后每个盒子都拿出一个球还回去），所以共有种放法。

同学们是不是已经学会了这种隔板法秒杀技巧呢？

做几个题目练练手

练习1：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中（1）若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？（2）若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？

练习2：现有20本完全相同的书，将它们全部分给4名学生，要求每个学生至少得3本，共有多少种不同的分法？

练习3（拓展提高）：方程的正整数解有多少组？

作者：

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完结

*来源：整合自网络