数学悖论 物理学难题或源于数学悖论

（

本文由微信公众号环球科学ScientificAmerican授权转载。

理论物理学家的最新研究表明，哥德尔不完备性定理与量子力学中无法计算的问题相关联。

库尔特•哥德尔（左）证明，总有一些数学命题是不可判定的；阿兰•图灵（右）则将哥德尔的证明延伸到了计算机科学里无法解决的算法中。图片来源：L: Pictorial Press Ltd/Alamy, R: Photoshot

一个数学与计算机科学领域核心的逻辑悖论或许在现实世界也产生了影响：正是它让我们无法解答一些关于物质的基本问题。

1931年，出生于奥地利的数学家库尔特•哥德尔（Kurt Gödel）宣布，他证明了总有一些数学命题是“不可判定”的，即我们永远无法证明或证伪它们，这一发现震惊了学界。如今，三位研究者又发现，正是同一原理让物理学家无法计算物质的一项重要性质——原子的理想模型中，电子的最低能级间隙。

这项研究的作者之一，伦敦大学学院的量子信息理论物理学家托比•丘比特（Toby Cubitt）表示，研究结果表明，在粒子物理学界，另外一个悬赏100万美元的相关问题可能也是从本质上就无法解决的。

该研究于发表在12月9日的Nature上，研究者还把一个更长的论文版本（长达140页）发布在论文预印本网站arXiv上（点此查看http://arxiv.org/abs/1502.04573）。来自西班牙巴塞罗那光子科学研究所的量子信息理论物理学家克里斯蒂安•戈戈林（Christian Gogolin）说：“令人震惊的发现，对所有研究凝聚态理论的人来说都会是一大意外。”

从逻辑学到物理学

哥德尔的发现首次与物理世界相联系是在1936年，由英国数学家阿兰•图灵完成。“在物理学与逻辑学的关系方面，图灵比哥德尔想得更清楚。”哥德尔传记的作者，美国作家丽贝卡•戈尔茨坦（Rebecca Goldstein）说。

图灵设想了一个理想化的计算机，每次可读/写1比特的数据，并利用它以算法的形式把哥德尔的结果重新表示了出来。他证明，我们永远都不可能知道该计算机能否在有限的时间内完成计算，也不存在一个通用的测试能知道任意给定的算法是否不可判定。同样的限制也适用于真实计算机，因为它们在数学上与图灵机是等价的。

从20世纪90年代开始，理论物理学家就一直在尝试将图灵的工作具体表达为物理现象的理想模型，“但他们得到的不可判定问题都没能与物理学家关心的具体问题产生联系。”加拿大西部大学的理论物理学家马库斯•米勒（Markus Müller）说，他曾与戈戈林和另外一位合作者于2012年共同发表了一个类似的模型。

丘比特说：“可以这么说，我们的研究是不可判定性首次体现在一个人们真正会去尝试解决的重大物理问题上。”

光谱间隙

丘比特与合作者集中研究的是“谱隙”（spectral gap）——即材料中电子占据的最低能级与次低能级之间间隙——的计算。这一物理量决定了材料的一些基本性质，比方说在有些材料中，降低温度会缩小这个间隙，使材料变成超导体。

研究团队以一种理想的材料模型——无穷二维原子晶格作为研究对象。晶格中原子的量子态可以被看作一个具象化的图灵机，包含了为找出该材料谱隙的每一步计算所需的信息。

丘比特和同事证明，对于无穷晶格而言，你永远无法知道计算过程什么时候结束，因此，关于谱隙是否存在这一问题是得不到答案的。

不过对于有限大小的二维晶格，计算步骤永远能在有限时间内结束，得到一个确定的答案，因此，无穷晶格的情况似乎与真实世界相距甚远：毕竟真实的材料永远都是有限大的，它们的性质完全可以通过实验测量或计算机模拟得出。

但无穷情况的不可判定性，意味着即使我们知道了某一个有限大小晶格的谱隙，在材料尺寸增加时它也可能会出现剧烈的变化，如从无能隙变成有能隙等等，即使仅仅增加了一个原子。此外，由于研究已经证明我们无法预测这样的情况是否出现、何时出现，我们就无法从实验或模拟结果中得出普遍结论。

悬赏百万的问题

丘比特说，他们的最终目标是研究粒子物理领域的一个相关问题，称为“杨-米尔斯质量间隙问题”（Yang–Mills mass-gap problem），该问题被美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）列为“千年数学大奖问题”（Millennium Prize Problems）之一，并悬赏100万美元征求解决方案。

所谓质量间隙问题，跟传递弱相互作用和强相互作用的粒子具有质量这一事实有关，而这也正是弱相互作用和强相互作用只在一定范围内有效，而不像引力和电磁相互作用那样在任意距离上都能发生作用的原因，同时也是夸克只能作为复合粒子（如质子和中子）的一部分，无法单独存在的原因。然而，现在还没有任何严格的数学理论可以解释为什么强、弱相互作用的载体有质量，而电磁力的载体，即光子没有质量。

丘比特希望他们团队的思想和方法最终可以证明杨-米尔斯质量间隙问题是不可判定的，但目前他们还没有明确的思路。“我们离那100万美元的奖金还远着呢。”他说。（撰文 达维德•卡斯泰尔韦基（Davide Castelvecchi） 翻译 丁家琦）