柯西中值定理 “苦瓜”数学家柯西的故事及柯西中值定理

历史上有个数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他的徒弟叫柯西。

虽然这个徒弟的徒弟比不上他，但是他还是写了一些东西，也有了一些成绩。男性....

他的作品共有28卷。

收缩了那个时期数学公式的前缀...

他开创了积分几何。首先，他证明了阶数超过的矩阵都有特征值，并成功地建立了极限理论。首先，他明确了定积分的概念，并用这个积分来研究各种问题等等

用参数方程表示的曲线上至少有一点，该点的切线与连接两端的弦平行。

应用示例

1)泰勒公式

柯西中值定理最重要的应用是用拉格朗日余项证明泰勒公式，可以通过多次重复使用柯西中值定理来证明。以下是一个例子。

例1是二次可微的，证明它是任意的，存在于两者之间，所以

这是点邻域内函数的一阶泰勒公式。

证书顺序，使用。两次应用于柯西中值定理后，我们可以得到:

命题证明。

……

2)洛必达定律

柯西中值定理的一个重要应用是推导出计算待定型极限的最有效方法——洛必达法则。

洛必达定律是求两个无穷小或两个无穷量之比的极限。在一定条件下，可以化为两个函数导数的比值极限，这可能使原待定型成为求待定型极限的一个简单有效的问题。

我们得出以下定理(阿比达定律):

(1)两个函数的和在开区间上可微，且和的导数在这个开区间上不等于0；

⑵存在极限(或)，其中A为有限常数。然后在下列情况下:(或和)。然后就是:(或者)。类似的结果存在于区间的另一端。这个定理被称为洛必达定律，可以有效地应用于待定型极限计算。

3)不平等

柯西中值定理也广泛应用于不等式的证明。关键是适当选择f(x)和g(x)。

例3试图证明当。

证明了柯西中值定理的条件在区间上满足，所以它存在，所以，也就是说，

结论得到了证明。

4)中间点

中值点存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一。

例4:如果函数在区间上是连续的，在区间内是可导的，那么它是存在的，这使得

。

证明了假设，，显然满足柯西中值定理的条件，所以它存在，使得

即存在，以便得出结论。

最近怎么样？你学会了吗？

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