数学最难的领域 豆瓣评分9.4，数学领域超级经典

说到数学领域的经典书籍，你脑子里可能会罗列很多。比如图灵出版过《普林斯顿微积分读本》、《具体数学》、《线性代数应该这样学》等等。我们今天要讲的这本书，也是数学领域的超级经典。是“数学中的莫扎特”，智商超过220，加州大学洛杉矶分校数学系终身教授，最年轻的菲尔兹奖获得者——陶哲轩的《陶哲轩的真实分析》。

我们以前出版过陶哲轩的《陶哲轩教你学数学》，其中包括陶哲轩15岁时的解题思路。有兴趣的朋友可以去看看:智商大于220，9岁进入大学，15岁写了一本书分享数学思维，31岁获得菲尔兹奖。今天，这本书也是陶哲轩的数学著作。这本书第一版在豆瓣获得9.4分，很受读者欢迎。一般认为陶哲轩的文笔很友好，面对不同的数学问题，阐述自己的思想和想法，是授人以鱼不如授人以渔的典范！以下节选自几位读者对本书的评价。

豆瓣评分9.4

豆瓣阅读器@ mxd1037622332对第一版的评论:

先向陶致敬！不仅因为他对陶的超凡能力，还因为他严谨的治学态度和他用心良苦从学生的角度写书。但是对于这本书，我想说明另一个观点。这是一本非常好读的书，我的感受主要来自以下三点:

1.写作以学生为中心，会不厌其烦地讲解自己的思路、出发点等。进行各种数学处理，并给读者留下大量的证明。

2.讨论极其严谨，几乎不允许在证明中直接使用感知。由于严谨性的需要，陶在本书中融入了许多深入的内容(如公理集合论)。

3.陶从哲学和语义学的深度来评价分析的对象。在其他教材中，我看到只有卓里奇的两卷可以达到这本书选材的深度和严谨性(其实差一点)，但思想深度还是不如这本书。

但是，除非你是陶的学生，否则我不建议你作为一个分析初学者去读这本书。这本书的缺点是其优点的必然结果。

1.过于严格(甚至有点苛刻)的阐述使得内容的主题对于初学者来说难以掌握。同时，也不能以为一次就能证明所有的定理，就说自己真的懂分析。毕竟，数学不能被认为是只为实用而创造的，也不能被认为是为了数学家的娱乐而创造的(我敢肯定数学不仅仅是工作，也是为了陶器的娱乐)。

2.这本书里的一些术语和概念似乎是陶自己创造的(顶尖数学家有这样驾驭数学的能力)，自然能体现出陶“手动做分析”的教学理念，但这是否适合没有那么天赋的初学者呢？根据前人以前的书评，陶几乎没有参考其他书籍，而是根据自己的理解来写。会不会和流行的数学有一些兼容性问题？

我个人认为这是一本练习和证明或者推广想法的好书。但作为系统分析教材，至少不适合我这样的平庸之辈。也许卓里奇的风格更适合我。

——这个小伙伴给了很客观的评价，从两个方面分析了这本书。也许书的内容对于一些初学者来说可能有点难，但是这种数学思维应该是每个学数学的人都应该具备的，至少这是一样的。

另外，在知乎，陶哲轩实分析里面的内容是数学分析还是实分析？为什么有人推荐用这本书入门？“在答案中，第一个最喜欢的答案是这样的。

链接:

https://www.zhihu.com/question/33001251/answer/73486102

因为这本书结合了:

极高的现代数学观点，但——极基础的数学手段

按照最简单严谨的逻辑，对付整个分析体系的神书。这就是数学教材编写的良心！

其实我看过这样一个动人的场景——那是1748年，我看过历史上最伟大的数学天才之一写的一本书，内容也是用他那绝世的高端头脑去整理对他来说相当低端的作品，只是为了帮助学生克服当时的教学困难。这本书名叫《无限分析导论》，作者名叫莱昂哈德·欧拉。不幸的是，当他写付梓时，他是瞎子，看不见东西。但这本教材无疑是一部未出版不朽的巨著，让二百年后的大师魏易印象深刻。

“今天的学生可以从《欧拉无限分析导论》中获得的益处是任何现代教科书都无法比拟的。”

-安德烈·韦伊(1906-1998)

这个“最后的福音”实际上是近300年前的事了...

Telunsu今天的努力跟上了欧拉的慈悲。这位伟大的天才对学生的热爱一脉相承！

注:根据陶哲轩的英文名陶哲轩，大家都亲切地叫他陶老师。

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分析

译者:李欣

亚马逊原版 4.8 星好评源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩 UCLA 教学讲义

这本书主要介绍数学分析中的一些内容，从数系和集合论的构造入手，逐步深入到数列、函数等高等数学内容，并附有详细的例题。每一部分后面的练习都与课文内容紧密相关，有利于读者掌握所学知识。在附录中，本书还介绍了数理逻辑和十进制的基础，突出了严密性和基础。

介绍翻译

作家陶哲轩

生于1975年，是世界著名的澳中数学家，智商超过220，被誉为“数学中的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克金牌(这一纪录至今未破)，2006年获得诺贝尔数学奖-菲尔兹奖，2007年当选皇家学会院士。他与本·格林合作解决了2300年前欧几里德提出的与“孪生素数”有关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等许多重要的数学研究领域取得了卓越的成就。陶哲轩15岁时写的《卖数学题》(陶哲轩教你学数学)是一本解决数学问题的科普读物，也广受读者喜爱。

译者李欣

毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年的高等数学、线性代数、概率论教学经验。

目录

第一章导言3

1.1什么是分析3

1.2为什么要做分析4

第二章从头开始:自然数12

2.1皮亚诺公理13

2.2添加20

2.3乘法25

第三章集合论28

3.1基础知识28

3.2罗素悖论(精选研究)38

3.3功能40

3.4图像和逆图像46

3.5笛卡尔乘积50

3.6集合55的基数

第4章整数和有理数60

4.1整数60

4.2有理数65

4.3绝对值和指数运算69

4.4有理数的差距72

第五章实数76

5.1柯西序列77

5.2等效柯西序列80

5.3实数83的构造

5.4实数排序89

5.5最小上限属性93

5.6实数的指数运算，I 97

第6章顺序的限制101

6.1收敛与极限定律101

6.2广义实数系统106

6.3序列的上限和下限109

6.4上限、下限和极限点111

6.5一些基本限制117

6.6子序列118

6.7实数的指数运算，II 121

第7章系列124

7.1有限系列124

7.2无限系列132

7.3非负总和136

7.4系列140的重排

7.5根值判别法和比值判别法143

第八章无限集147

8.1可数性147

8.2无限集合上的和153

8.3不可数集合158

8.4选择公理161

8.5有序集164

第九章R 171上的连续函数

9.1实线子集171

9.2实函数代数176

9.3函数178的极限值

9.4连续功能184

9.5左右极限188

9.6最大原则190

9.7中值定理193

9.8单调函数195

9.9一致性和连续性197

9.10无限远处的极限202

第十章功能区分204

10.1基本定义204

10.2局部最大值、局部最小值和导数209

10.3单调函数及其导数211

10.4反函数及其导数212

10.5洛比达法214

第十一章黎曼积分217

11.1第217项

11.2分段常数函数221

11.3上黎曼积分和下黎曼积分224

11.4黎曼积分的基本性质227

11.5连续函数的黎曼可积性231

11.6单调函数的黎曼可积性234

11.7非黎曼可积函数236

11.8黎曼{斯蒂尔杰斯积分237

11.9微积分的两个基本定理240

11.10基本定理243的推论

第十二章测量空251室

12.1定义和示例251

12.2米制空 258中某些点集的拓扑知识

12.3相对拓扑262

12.4柯西序列和完全度量之间空 264

12.5紧凑型公制空 267

第十三章度量之间的连续函数空 272

13.1连续功能272

13.2连续性和产品空 274

13.3连续性和紧密性277

13.4连续性和连通性279

13.5拓扑空房间(可选书房)281

第十四章一致收敛286

14.1函数286的极限值

14.2逐点收敛和一致收敛289

14.3一致收敛和连续性292

14.4一致收敛的度量294

14.5函数级数和魏尔斯特拉斯m判别法296

14.6统一收敛和集成299

14.7一致收敛和导数301

14.8多项式303的一致逼近

第十五章权力系列310

15.1 form power series 310

15.2实解析函数312

15.3阿贝尔定理317

15.4幂级数319的乘法

15.5指数函数和对数函数322

15.6说出复数325

15.7三角函数331

第十六章傅立叶级数336

16.1周期函数336

16.2周期函数338的内积

16.3三角多项式341

16.4周期性卷积343

16.5傅立叶定理和普朗克定理347

第十七章多重微分学352

17.1线性变换352

17.2多元微积分中的导数357

17.3偏导数和方向导数360

17.4多元微积分的链式法则366

17.5二阶导数和克拉罗定理368

17.6收缩映射定理370

17.7多元微积分的反函数定理372

17.8隐函数定理377

第十八章勒伯格测量381

18.1目标:勒伯格测量382

18.2步骤1:外部测量384

18.3外部措施是非附加的390

18.4可测集392

18.5可测量功能398

第十九章勒伯格积分401

19.1简单功能401

19.2非负可测函数405的积分

19.3绝对可积函数的积分412

19.4与黎曼积分415的比较

19.5富比尼定理417

附录一数学逻辑基础421

A.1数学命题421

a2隐含关系425

A.3认证结构429

A.4变量和量词431

A.5嵌套量词433

A.6证明和量词的一些例子435

a7平等436

附录B十进制438

B.1自然数的十进制表示438

B.2实数的十进制表示441

文章末尾的福利

这一期，我发了三份《陶哲轩真实分析》(第三版)。朋友们告诉我，你们在学习数学的过程中遇到了什么问题，最后怎么解决。或者说最难忘的数学公式是什么？为什么？截至2018年6月25日12: 00。欢迎朋友畅所欲言。

如果暂时不需要这本《陶哲轩实分析》，图灵还有很多经典的学术数学参考书或者活泼的数学科普参考书。