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最小的正整数是几 满足条件的自然数最小是多少?

大于10的自然数,除以5和3,除以7和1,除以9和8;那么,满足条件的最小自然数是多少?

分析:

余数定理中的一类中等难度问题。

从难度上,大致可以分为以下几个层次:

1、最简单的:

除以 5 余数是 0,除以 7 余数是 0, 除以 9 余数是 0: 此时,就是一个最小公倍数的问题! 同时是 5、 7、 9 的倍数,那最小公倍数就是: 5×7×9=315

2.难度略有提高:

除以 5 余数是 1,除以 7 余数是 1, 除以 9 余数是 1: 此时,如果是把这个数减掉 1,得到的这个新的数字,就会转换成最小公倍数的问题! 减掉 1 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数,那就是: 5×7×9=315所以,原来的这个数字最小就是: 315+1=316

3.难度和第二个差不多,但是看起来没那么直观:

除以 5 余数是 4,除以 7 余数是 6, 除以 9 余数是 8: 此时,余数看上去是不同的,但是如果是把这个数加上 1,得到的这个新的数字,也会转换成最小公倍数的问题! 加上 1 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数,那就是: 5×7×9=315所以,原来的这个数字最小就是: 315-1=314

4.困难又提出来了,这就是现在的问题:

除以 5 余数是 3,除以 7 余数是 1, 除以 9 余数是 8: 此时,余数不同,而且要补成倍数的值也不同: 整除 5 要补 5-3=2整除 7 要补 7-1=6整除 9 要补 9-8=1 这个时候,就有两个方向了: 从原来的数字里面往外拿: 整除 5 的话,可以从原来数字里面拿出来: 3、 3+5=8整除 7 的话,可以从原来数字里面拿出来: 1、 1+7=8整除 9 的话,可以从原来数字里面拿出来: 8、 8+9=17这个时候,就可以发现,出现了一个共同的数字: 8 也就是说: 减掉 8 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数,那就是: 5×7×9=315 所以, 原来的这个数字最小就是: 315+8=323 另外一个方向就是: 往原来的数字里面补: 整除 5 的话,需要补的是: 5-3=2、 2+5=7、 7+5=13、……整除 7 的话,需要补的是: 7-1=6、 6+7=13、 13+7=20、……整除 9 的话,需要补的是: 9-8=1、 1+9=10、 10+9=19、……很明显,这个方向上要找这个共同的数字的话,就不明显了实际上,要找到的话,一定是: 315-8=307真要这么找,要耗费相当长时间了

5.如果再提难度,就是:

不管是往外拿,还是往里补, 试算了四、五个之后,两个方向都找不同相同的数字这个时候,就要: 用上另外一种方法了 这类问题,明天再来看一起看一道题

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