为数学而疯的康托尔

1918年1月6日，德国数学家，集合论的创立人康托尔逝世。

1918年1月6日，德国数学家，集合论的创立人康托尔逝世。

一、 康托尔的生平

康托尔曾就学于苏黎世大学、哥廷根大学和法兰克福大学。1863年，他父亲突然病逝，为此康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习。在那里，他从当时的几位数学大师，魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克那里学到了不少东西。

最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工。但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引。1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定。尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业。同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，包括文学、音乐和绘画等。

年轻的康托尔在27岁的时候，就在数学上表现出优秀的数学天赋，他用有理数列构造实数R，在数学发展历史上，这是“前无古人”的创意。无穷理论的研究，在当时一直是一个世界性的难题，由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。

从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。

比如著名的康托尔三分集：已知一条长度为1个单位的线（蓝色），移走这条线中间的三分之一。再移走剩下部分的三分之一，无限重复这样的过程。最后剩下的就是康托尔三分集（也叫康托尔的梳子）。它有一个惊人的属性：无论走多远，总能够从剩下的点中找到两点，它们之间的距离可以是从0到1之间的任何一个数，比如下图中的长度为0.4单位的线。

康托尔的梳子

然而，康托尔在学术上的成就，在最开始，并没有得到同行的认可，尤其是当时欧洲最杰出的数学家之一，也是他的老师——克罗内克，早已流露过不满。克罗内克是一个有穷论者，竭力反对康托尔的“超穷数”的观点。

在柏林，克罗内克几乎有无限的权力。他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还一再阻止康托尔论文的发表。由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使39岁的康托尔患了抑郁症。

在康托尔的余生中，由于事业和家庭生活两方面的打击，他多次遭受不同程度的精神崩溃，不得不一次次出入精神病院。然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的时候，他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作。

二、康托尔的贡献和影响

康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。

两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”

罗素在某个时期曾说过，“在数学上，我主要受惠于G.康托尔和G.皮亚诺教授。”（《数学的原理》）

希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的“连续统假设”列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。

罗素

希尔伯特

当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

康托尔在数学上的功绩，以及敢于向无穷大冒险迈进的精神，不仅在当时影响引起巨大的反响，为如今数学理论的发展，做出了不朽的贡献。

参考文献：

1. 为数学而疯的康托尔

2. 数学家的故事.孙剑.长江文艺出版社

3. 百度百科

4. 历史上的今天

用加、减、乘、除和括号，将1918年1月6日”中的4个数：1，6，18，19进行计算，得到23。

上期答案：9×5-19+1=27