流体动力学 【流体力学微教材】水波动力学

风流知己水波动力学CFDJC1010

水波动力学

柳培青

北航空航天大学

前言

刘培青，原名裴公，1982年获得华北水利水电大学学士学位。1989年获河海大学硕士学位，1995年获清华大学博士学位。自1997年起，在北京航空航天大学流体研究所工作空。2000年起，任教育部流体力学重点实验室责任教授、博士生导师。2003年至2012年，任任航空理工学院副院长。现任中国空空气动力学学会理事，中国理论与应用力学学会流体力学专业委员会工业流体力学组组长。长期从事飞行器的气动实验和数值模拟空。国家精品课程“空空气动力学”负责人，国家航空空航天实验教学示范中心主任，空空气动力学杂志编委。现在我在北京航空航天大学陆士嘉实验室工作。

刘培庆教授

1.波动现象

波浪运动作为水波动力学的研究对象，在海洋、湖泊、水库等宽阔的水面上十分常见。它的主要特点是水面做有规律的起伏，而水粒子做周期性的往复振荡。因为水位和质点速度都是时间的函数，所以波动是一种非定常运动。

图1波动

图2波动

发现任何波动都必须满足以下三个条件:必须存在一个未被扰动的平衡态；必须有扰乱力量破坏平衡；必须有恢复力才能重新建立平衡状态。在波浪运动中，扰动力通常包括风力、潮汐力、船舶力、地震力等。恢复力包括重力、表面张力、惯性力等。如图3所示，表征波浪运动的主要物理量是:波峰是指静止水面以上的那部分波浪；波峰是指波峰的最高点；槽是指静水面以下的部分；波谷是指波谷的最低点；波高是指波顶与波底的垂直距离h；波长是指两个相邻波峰之间的水平距离λ；波陡指波高与波长之比；波浪中心线被定义为平分波浪高度的水平线。实际上，由于波峰尖，波谷平，静水面到波峰的距离大于静水面到波谷的距离，波浪中线往往位于静水面之上，其超高称为超高。重复一个完整的波过程所花费的时间称为波周期t，在波过程中，波形向前运动的波称为推进波。在推进波中，波峰在水平方向移动的速度a=λ/T称为波速，a = λ/t，波高、波长、波陡、波速、波周期称为波元。

图3波形元素

如果水质点以波高h为直径做圆周运动，平均速度为Vm=πh/T，其与波速之比可表示为

一般波高比波长小很多，一般在0.15-0.02之间。据统计，45%的波浪在6.7米以下，80%在4米以下，10%在0.6.7米以上..根据航海记录，南美洲在1836年至1839年间测得的波高为7.6m。1894年，我在大西洋遇到了至少12m高，在太平洋遇到了20m高的狂浪。1933年，太平洋遭遇了一次35m高的海浪。一般来说，粘度对表面张力波的衰减作用很大，对重力波的衰减作用很小，所以重力波可以持续很长时间。波浪传播过程中，方向不变，但遇到障碍物和进入浅水的情况不同。物理波的情况下会反射，浅水中会折射。波浪对深度的影响呈指数衰减。在深水区，高度为5m、长度为50m的波浪，只能在水面以下50m处引起直径为60cm的运动，水质点速度由1.6m/s降低到0.2m/s，2 ~ 3m的波浪，15m以下，影响不大。

2.波浪特征和类型

二维波动是在恒定水深的水面上产生和传播的。x轴为波浪推进方向，z轴垂直向上。平衡水面高度为z=0，行波水面高度为η，如图4所示。

图4二维波

忽略波动过程中的粘性力，忽略Z方向的加速度，压力服从静水压力分布。著名的波动方程是法国科学家达朗贝尔在1747年利用水平运动方程和质量守恒方程推导出来的。

其中，水面波速和h为水深。使用分离变量的方法，波高的解如下

其中f和g是波形函数。该公式表明波形在波传播过程中保持不变。

图5法国机械师达朗贝尔

海洋中的波浪种类繁多，形状各异，名称杂乱。产生波浪的扰动力有:太阳、月亮、风暴、地震、风等。恢复力包括科里奥利力、重力、表面张力等。在海浪中，风生重力波是主要的，也称为风浪。根据原因和频率，有:表面张力波，频率小于10Hz；频率范围为1hz-10hz的短周期重力波；重力波，频率为1/30 ~ 1hz；频率范围为1/300 ~ 1/30hz的长周期重力波；长波1/8.64×10-4 ~ 1/300Hz；惯性波和行星波，频率大于1/8.64×10-4Hz。根据干扰力，有风暴、潮汐、船舶行波等。根据激振力，有自由波和强迫波。比如静水中石头激发的波就是自由波。指扰动消除后的波，波的传播和演化只受水的性质限制。强迫波是指具有连续干扰力的波，其运行受干扰力和水性质的制约。潮汐波是一种强迫波。按质量输送分类，有输送波。)和振动波。如果波向前运动时存在平均意义上的质量输运，则称之为输运波。否则，如果波不产生流量，称为振动波。风浪是一种振动波，颗粒在其中循环运动，不产生流动。在振动波中，根据波形是否相对于介质水平移动，分为行波和驻波。显然，波浪的水平运动就是推进波。没有水平运动就是驻波。波形的运动不同于水质点的运动。如果波形的运动与水质点的运动方向一致，称为纵波。如果运动方向是垂直的，就叫横波。一般来说，海面波既不是纵波，也不是横波。水质点在垂直面上呈圆形或椭圆形运动。

图6输送波

图7低潮波

图8高潮波

图9振动波

对于有限振幅的深水推进波，常用的近似理论是德国物理学家f .格斯特纳在1802年提出的圆次摆线理论。以二维深水波为例。在分析中，假设水体是不考虑粘性影响的理想不可压缩液体；水深无限大，波浪运动不受海床影响；水质点在垂直面上匀速圆周运动，圆心位于质点静止位置上方一定距离处；静止时位于同一水平面上的水质点，波动时形成的曲面，同一波动面上的水质点具有相等的圆周运动半径R，且R =水面h/2；在垂直方向，R值从水面向下急剧减小；当水质点做圆周运动时，径向线与向上的垂直线之间的夹角为相角θ。在同一时刻，在任意波运动面上，相位角随着沿波传播方向距离的增加而减小。在同一时刻，中心位于同一垂线上的各水质点的相角相等。如图19和20所示。

图18德国物理学家加斯顿尼

图19不同水深时摆线波面形状

图20不同水深下等相位圆次摆线波面形状

考虑到深水推进波的特性受水深影响很大，1871年，法国科学家J.V. Boussinesq提出了椭圆次摆线理论。椭圆次摆线理论的假设和推导过程与圆次摆线理论完全相似，主要区别在于水质点在椭圆内运动，椭圆长轴为水平轴，椭圆短轴为垂直轴，椭圆长轴和短轴沿垂直方向递减。水质点在椭圆轨迹上不再匀速运动，但其相速仍然是匀速的。如图22所示，与圆形滑车相比，椭圆形滑车具有更尖锐的水峰和更平坦的谷。图23显示了不同水深下的水面形状曲线。

图21法国科学家布斯内克

图22椭圆摆线水面形状

图23不同水深等相位椭圆次摆线的水面形状

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