正切函数的导数 R语言的导数计算

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前言

高等数学是每个大学生的基础课，也可能是考试后最容易遗忘的知识。

我在研究高数的时候绞尽脑汁，却一直不知道自己为什么在研究。生活工作中基本不用。即使在计算机行业和金融行业，能直接使用高数的地方也是少之又少。学术和实际应用真的相差很远。

但是，R语言为我应用高数打开了一扇门。r语言不仅可以方便地实现高等数学的计算，而且可以很容易地将一篇论文中的高数公式应用到产品的实践中。

因为R语言，我重新学习了高数，让我的生活充满了数学，让我的生活更加有趣。

本节不是完整的高数计算手册，只介绍了导数计算和偏导数计算在R语言中的实现。

导数计算初等函数的导数公式二阶导数计算偏导数计算 1. 导数计算

导数是微分学的基本概念，用来计算一个函数的极值。导数定义为:当函数y=f(x)在x0的某个域中定义时，当自变量x在x0处(点x0+δ x仍在邻域中)获得δ x时，对应的函数获得δy = f(x0+δx)-f(x0)；如果δ x趋于0时存在δ y与δ x比值的极限，则函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数，表示为f`(x0)，即

也写成y'|x=x0，dy/dx|x=x0或df(x)/dx|x=x0。

用r语言，可以直接用deriv()函数计算导数。例如，要计算y = x ^ 3的导数，根据导数计算公式，手动计算的变形结果为y' = 3x ^ 2，x=1，y ' = 3，x=2，y'=12。

本节中的系统环境

Win7 64bitR: 3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)

使用R语言编程，代码如下。

>。dx <。-德里夫(y ~ x^ 3，“x”)；Dx #生成导数公式

表达式({

。价值<。- x^ 3

。grad <。- array( 0，c(长度(。值)、1L)、列表(空、c( "x "))

。grad[，" x"] <。- 3* x^ 2

attr(。值，“梯度”)& lt- .毕业生

。价值

})

>。模式(dx) #查看dx变量类型

[ 1]“表达式”

>。x<。-1: 2#给自变量x赋值

>。Eval(dx) #运行导数计算

[1]18 #原始函数的计算结果

Attr(，“梯度”)#采用梯度下降法推导函数的计算结果

[ 1，] 3# x=1,dx=3*1^2=3

[ 2，] 12# x=2,dx=3*2^2=12

R语言程序计算的结果和我们手算的结果是一致的。但是，计算过程却大不相同。当我们手工计算时，通过给定的导数计算公式，就变成了一个完工后的计算。计算机程序计算时，采用梯度下降法计算一阶导数，这是一种优化的近似算法。手动计算导数时，如果函数比较复杂，难以应用可变形公式，那么手动计算会非常困难，而计算机程序的方法是一种通用的导数计算方法，不会受到公式变形难度的影响。

当我们使用deriv(expr，name)函数时，我们通常会传递两个参数，第一个参数expr是原函数公式，公式两边用~隔开，第二个参数名用来指定函数的自变量。deriv()函数会返回一个表达式类型变量，然后用eval()函数运行这个表达式得到计算结果，如上面的代码所实现的。

如果要以函数的形式调用计算公式，那么需要传递第三个参数func，并且让func参数为TRUE，参考下面的代码实现。

计算正弦函数y=sin(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=cos(x)。当x=pi，y ' =-1；当x=4*pi，y'=1时，其中pi=π表示pi。

>。dx <。- deriv(y ~ sin(x)，" x "，func = TRUE)；Dx #生成导数公式的调用函数

函数(x)

{

。价值<。- sin(x)

。grad <。- array( 0，c(长度(。值)、1L)、列表(空、c( "x "))

。grad[，" x"] <。- cos(x)

attr(。值，“梯度”)& lt- .毕业生

。价值

}

>。模式(dx) #检查dx的类型

[ 1]“功能”

>。Dx(c(pi，4*pi)) #以参数为自变量，进行函数调用

[ 1] 1.224606e-16- 4.898425e-16

attr(，“梯度”)

x #导数函数的计算结果

[ 1，] - 1# x=pi，dx=cos(pi)=-1

[2，] 1# x=4*pi，dx=cos(4*pi)=12。初等函数的导数公式

对于计算导数的基本初等函数，可以通过导数计算公式直接手动进行计算。下面是一元初等函数的导数计算公式。

函数原函数的导函数

常数函数y=C y'= 0

幂函数y = x ny' = n * x (n-1)

指数函数y = a x y' = a x * ln (a)

y=exp(1)^x y'=exp(1)^x

对数函数y = log (x，base = a) y' = 1/(x * ln (a)) (a >: 0，a！=1，x>。0)

y=ln(x) y'=1/x

正弦函数y=sin(x) y'=cos(x)

余弦函数y=cos(x) y'=-sin(x)

正切函数y = tan(x)y’= sec(x)2 = 1/cos(x)2

共切线函数y = cot (x) y' =-CSC (x) 2 = 1/sin (x) 2

割线函数y=sec(x) y'=sec(x)*tan(x)

共割函数y=csc(x) y'=-csc(x)*cot(x)

反正弦函数y =反正弦(x)y’= 1/sqrt(1-x ^ 2)

反余弦函数y = arccos (x) y' =-1/sqrt (1-x 2)

反正切函数y =反正切(x)y’= 1/(1+x ^ 2)

反余切函数y = arccot(x)y ' =-1/(1+x ^ 2)

反正切函数y = arcsec(x)y ' = 1/ABS(x)*(x ^ 2-1)

函数y = arc CSC(x)y ' =-1/ABS(x)*(x ^ 2-1)

对公式的评论:

y是原函数，x是y函数的自变量，y’是y函数的导函数。C,n,a为常数。ln表示以自然常数e为底的对数exp(1)表示自然常数elog(x,base=a)表示，以常数a为底的对数sqrt表示开平方abs表示绝对值正割函数sec，计算方法为 sec=1/cos(x)余割函数csc，计算方法为 csc=1/sin(x)余切函数cot，计算方法为 cot=1/tan(x)

注意:以上公式与R语言函数不完全匹配

接下来，我们计算这些一元初等函数的一阶导数。设y为原函数，x为只有一个自变量的y函数的自变量。

常数函数

计算y=3+10*x函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=0+10*x，常数项3的导数为0，当x=1时，y'=10。

>。dx<。-deriv (y ~ 3+10 * x，“x”，func = true) #生成函数形式的导数公式

>。Dx( 1) #传入自变量并计算

[1] 13#原始函数计算结果y=3+10*1=13

attr(，“梯度”)

[1，] 10#导数函数计算结果y'=10*1=10

幂函数

计算函数y = x ^ 4的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y' = 4 * x 3。当x=2时，y'=32。

>。dx<。-deriv(y~x^ 4，“x”，func = TRUE)

>。dx( 2)

[ 1] 16

attr(，“梯度”)

[1，]导函数# 32 y '的计算结果= 4 * x 3 = 4 * 2 3 = 32

指数函数

计算y = 4 x函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y′= 4×ln(4)。当x=2时，y'=22.18071。

>。dx<。-德里夫(y~ 4^x，“x”，func = TRUE)

>。dx( 2)

[ 1] 16

attr(，“梯度”)

[1，] 22.18071#导数函数计算结果y ' = 4 x * log(4)= 4 * 2 ^ 3 = 22.18071

计算y = exp (1) x函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y' = exp (1) x，当x=2时，y'=y=7.389056。

>。dx<。-deriv(y~exp( 1)^x，“x”，func = TRUE)

>。dx( 2)

[ 1] 7.389056

attr(，“梯度”)

[1，] 7.389056#导函数计算结果y' = exp (1) x = exp (1) 2 = 7.389056

对数函数

计算函数y=ln(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=1/x，当x=2时，y'=0.5。

>。dx<。-deriv(y~log(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx( 2)

[ 1] 0.6931472

attr(，“梯度”)

[1，] 0.5#导数函数计算结果y'=1/x=1/2=0.5

计算函数y=log2(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=1/(x*log(2))。当x=3时，y'=0.4808983。

但是用R语言编程时，只能根据自然常数计算对数的导数。如果原函数不是基于自然常数的对数，那么首先要将其转化为基于自然常数的对数，然后再计算导数。根据对数代入公式，将基于2的对数转化为基于自然常数y=log2(x)=log(x)/log(2)的对数。

>。dx<。-deriv(y~ log(x)/ log( 2)，" x "，func = TRUE)

>。dx( 3)

[ 1] 1.584963

attr(，“梯度”)

[1，] 0.4808983#导函数计算结果y ' = 1/(x * log(2)= 1/(3 * log(2)= 0.4808983。

正弦函数

计算函数y=sin(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=cos(x)。当x=pi，y'=-1，其中pi=π代表pi。

>。dx<。-deriv(y~sin(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi)

[ 1] 1.224606e-16

attr(，“梯度”)

[1，]-1#导数函数计算结果y'=cos(x)=cos(pi)=-1

余弦函数

计算函数y=cos(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y'=-sin(x)，当x=pi/2时，y'=-1。

>。dx<。-deriv(y~cos(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 2)

[ 1] 6.123032e-17

attr(，“梯度”)

[1，]-1#导数函数计算结果y'=-sin(x)=-sin(pi/2)=-1

正切函数

计算y=tan(x)函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y' = sec (x) 2 = 1/cos (x) 2，当x=pi/6时，y' = 1.33333。

>。dx<。-deriv(y~tan(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 6)

[ 1] 0.5773503

attr(，“梯度”)

[1，] 1.333333#导数函数计算结果y ' = 1/cos(x)2 = 1/cos(pi/6)2 = 1.333333

余切函数

计算y=cot(x)函数的导数。由于R语言中没有cot()函数，我们根据三角公式手工将原函数变形为y=cot(x)=1/tan(x)，然后计算导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为Y' =-CSC (x) 2 =-1/sin

>。dx<。-deriv(y~ 1/tan(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 6)

[ 1] 1.732051

attr(，“梯度”)

[1，]-4#导数函数计算结果y' =-1/sin (x) 2 =-1/sin (pi/6) 2 =-4

反正弦

计算函数y=asin(x)的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y' = 1/sqrt (1-x 2)。当x=pi/6，y'=1.173757。

>。dx<。-deriv(y~asin(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 6)

[ 1] 0.5510696

attr(，“梯度”)

[1，] 1.173757#导数函数计算结果y ' = 1/sqrt(1-x 2)= 1/sqrt(1-(pi/6)2)= 1.173757

反余弦函数

计算y=acos(x)函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y' =-1/sqrt (1-x 2)，当x=pi/8时，y'=-1.08735。

>。dx<。-deriv(y~acos(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 8)

[ 1] 1.167232

attr(，“梯度”)

[1，]-1.08735#导数函数计算结果y ' =-1/sqrt(1-x 2)=-1/sqrt(1-(pi/8)2)=-1.08735

反正切

计算y=atan(x)函数的导数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y ' = 1/(1+x ^ 2)，当x=pi/6时，y'=0.7848335。

>。dx<。-deriv(y~atan(x)，" x "，func = TRUE)

>。dx(pi/ 6)

[ 1] 0.4823479

attr(，“梯度”)

[1，] 0.7848335#导数函数计算结果y ' = 1/(1+x ^ 2)= 1/(1+(pi/6)2)= 0.78483353。二阶导数计算

当我们连续几次计算一个函数的导数时，就会形成高阶导数。

一般函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，所以我们称导数y'=f'(x)为函数y=f(x)的二阶导数，记为y”，即。

一阶导数的导数叫二阶导数，二阶导数的导数叫三阶导数，N-1阶导数的导数叫N阶导数，习惯上把二阶以上的导数叫高阶导数。

例如，计算函数y=sin(a*x)的二阶导数y”，其中a为常数。根据导数计算公式，人工计算的变形结果是一阶导数为y'=a*cos(a*x)，y '的导数公式变形为y " =-a ^ 2 * sin(a * x)

用R语言实现程序

>。a<。-2#设置a的值

>。dx<。-deriv (y ~ sin (a * x)，" x "，func = true) #生成一阶导数公式

>。Dx(pi/ 3) #计算一阶导数

[ 1] 0.8660254

attr(，“梯度”)

[1，]-1#导数函数计算结果y'= a*cos(a*x)=2*cos(2*pi/3)=-1

>。dx<。-deriv (y ~ a * cos (a * x)，" x "，func = true) #导出一阶导数函数

>。dx(pi/ 3)

[ 1] - 1

attr(，“梯度”)

[1，]-3.464102#导数函数计算结果y ' =-a 2 * sin(a * x)=-2 2 * sin(2 * pi/3)=-3.464102

上面二阶导数的计算是手工分两次求导，实际上是利用deriv3()函数合并成一步计算。

>。dx<。-deriv3 (y ~ sin (a * x)，" x "，func = true) #生成二阶导数公式

>。Dx(pi/ 3) #计算导数

[ 1] 0.8660254

attr(，“梯度”)

[1，]-1#的一阶导数结果

attr(，" hessian ")

，，x

[1，]-3.464102#二阶导数结果

我们计算另一个二阶导数，计算y = a * x 4+b * x 3+x 2+x+c，其中a、b和c是常数a = 2、b = 1和c = 3。

根据导数计算公式，人工计算的变形结果为y ' = 2 * x 4+x 3+x 2+x 3 = 4 * 2 * x 3+3 * x 2+2 * x+1，当x=2时，y'=81。

y '的导数公式变形为:y "= 3 * 4 * 2 * x 2+2 * 3 * x+2，当x=2时，y" = 110。

>。dx<。-deriv3 (y ~ a * x 4+b * x 3+x 2+x+c，" x "，func = function (x，a = 2，b = 1，c = 3) {}) #通过func参数指定一个常数值

>。dx( 2)

[ 1] 49

attr(，“梯度”)

[1，]81的一阶导数结果

attr(，" hessian ")

，，x

[1，] 110#的二阶导数结果

这样可以直接计算二阶导数。在R语言中，可以直接计算二阶导数。如果要计算高阶导数，需要其他数学工具包。

4.偏导数计算

在一元函数中，我们已经知道导数是函数的变化率。对于二元函数，也要研究它的“变化率”。但是因为多了一个自变量，情况就复杂多了。在数学中，多元函数的偏导数是它相对于一个变量的导数，同时保持其他变量不变(相对于全导数，其中所有变量都允许变化)。

偏导数的运算符符号是:。写成f/x或f’x，偏导数反映了函数沿坐标轴正方向的变化率，在向量分析和微分几何中非常有用。

在xOy平面上，当运动点从P(x0，y0)向不同方向变化时，函数f(x，y)的变化速度一般是不一样的，所以需要研究f(x，y)在(x0，y0)向不同方向的变化率。这里只学习函数f(x，y)在x0y平面内沿平行于x0y轴和y轴的两个特殊方向变化时f(x，y)的变化率。

x方向的偏导数:

有一个二元函数z=f(x，y)，点(x0，y0)是其定义域d中的一个点，y固定在y0，x在x0有一个增量△ x，所以函数z=f(x，y)有一个增量(称为对x的部分增量)△ z = f (x0+△ x，y0)如果△x→0时△ z与△x之比的极限存在，那么这个极限值称为函数z =的偏导数写成f'x(x0，y0)。

y方向的偏导数:

函数z=f(x，y)到x at (x0，y0)的偏导数，实际上是y作为常数固定在y0后，一元函数z=f(x，y0)在x0的导数。同理，x固定在x0，所以y有增量△ y，如果极限存在，这个极限叫做函数z=(x，y)到y在(x0，y0)的偏导数。写成f'y(x0，y0)

同理，我们可以通过R语言中的deriv()函数来计算偏导数。接下来，我们计算二元函数f (x，y) = 2 * x 2+y+3 * x * y 2的偏导数。因为二元函数曲面上的每一点都有无穷多条切线，所以很难描述这个函数的导数。如果其中一个变量y给定值，就可以得到另一个变量x的偏导数，即f/x。

我们先求出两个自变量X和Y的偏导数，让变量Y为常数，计算偏导数f/X = 4 * X+3 * Y ^ 2。当x = 1且y = 1时，偏导数f/x = 4 * x+3 * y 2 = 7。以变量x为常数，计算偏导数f/y = 1+6 * x * y，当x = 1且y = 1时，偏导数f/x = 1+6 * x * y = 7。

用r语言程序实现。

>。Fxy =表达式(2 * x 2+y+3 * x * y 2) #二元函数公式

>。dxy = deriv(fxy，c( "x "，" y ")，func = TRUE)

>。丁香医生

函数(x，y){

. expr4 & lt- 3* x

. expr5 & lt- y^ 2号

。价值<。- 2* x^ 2+ y + .expr4 * .expr5

。grad <。- array( 0，c(长度(。值)、2L)、列表(NULL、c( "x "、" y "))

。grad[，" x"] <。-2 *(2 * x)+3 * expr 5

。grad[，" y"] <。- 1+ .expr4 * ( 2* y)

attr(。值，“梯度”)& lt- .毕业生