我们学过的三角形、矩形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆形、扇形图形,一般称为基本图形或规则图形。我们的面积和周长是通过相应的公式直接计算出来的,如下表所示:
一句话:阴影部分的面积等于两个正方形A和B的面积之和减去三个“空白色三角形(△ABG,△BDE,△EFG)的面积之和。
例2如右图所示,正方形ABCD边长为6 cm,△ABE、△ADF、四边形AEF面积相等,计算三角形AEF面积。
总之:因为△ABE、△ADF和四边形AECF的面积相等,所以都等于正方形ABCD面积的三分之一,即12 cm。
解决方案:
S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12
在△ABE中,因为AB=6,BE=4,DF=4,CE=CF=2。
∴△ECF的面积是2×2÷2=2。
因此,S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。
例3两个等腰直角三角形,直角边分别为10厘米和6厘米。如右侧所示重叠。求重叠部分(阴影部分)的面积。
总之:阴影区=S△ABG-S△BEF,S△ABG和S△BEF为等腰三角形
总结:不规则图形面积的计算问题一般转化为一些基本规则图形的组合,通过分析整体与部分的和与差关系来解决问题。
常用的基本方法有:
一、添加
该方法将不规则图分解成几个基本的规则图,分别计算它们的面积,然后通过加法计算整个图的面积。
例如,找到下图的整个区域
总之:半圆面积+正方形面积=总面积
二、减法
该方法将不规则图形的面积视为几个基本规则图形的面积之差。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
底线:求正方形面积,减去里面圆的面积。
第三,直接法
该方法根据已知条件,从整体上直接计算不规则图形的面积。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
总之:通过分析发现,阴影部分是一个底部为2,高度为4的三角形
第四,重组方法
这种方法是根据具体情况和计算的需要,将不规则图形拆开,重新组装成一个新图形,就可以计算出这个新图形的面积。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
底线:拆解图形,使阴影部分分布在正方形的四个角上,如下图。
动词 (verb的缩写)辅助线法
这种方法是根据具体情况给图形添加一条或几条辅助线,使不规则图形转化成几个基本的规则图形,然后加减求解
例如,在下图中,找到两个正方形中阴影部分的面积。
一句话:这个问题虽然可以用减法来解决,但是加一条辅助线之后还是用直接法比较好(如下图)
底线:切右弓,填左弓,这样整个阴影区域正好是正方形面积的一半。
七、翻译方法
该方法将图形的某一部分切割并平行移动到合适的位置,使其组合成新的基本规则图形,便于计算面积。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
底线:可以先沿着中间切割,将左边方块中的阴影部分平行移入右边方块,这样整个阴影部分就只是一个方块。
八、轮换法
该方法是将图形的某一部分切割后,沿某一点或某一轴旋转一定角度贴附到另一图形的一侧,从而组合出新的基本规则图形,便于计算面积。
例如,在下图(1)中,计算阴影部分的面积。
一句话:左半个图形围绕b点逆时针旋转180°,使a和c重合,从而形成右图形的外观(2)。此时,阴影部分的面积可视为半圆的面积减去中间等腰直角三角形的面积。
九.对称补充法
这种方法是把原来的图形做成对称的图形,从而得到新的基本规则图形。原始图形的面积是新图形的一半。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
总之:在原图下沿AB做一个以AB为对称轴的对称扇形ABD。拱形CBD面积的一半是阴影部分的面积。
X.重叠法
在这种方法中,所需图形被视为两个或多个图形的重叠部分。
例如,在下图中,计算阴影部分的面积。
一句话:可以先把两个扇区的面积相加,减去平方面积,因为阴影部分的面积正好是两个扇区的重叠部分。
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