项数公式 10个出人意料的数学公式

肖恩·李。原创《10个令人惊叹的数学方程》

译者，小米，多多数学网翻译团队成员。

很多时候，人们认为数学公式只是为了记忆应付考试。但有时，数学公式的价值远远超过这一点——它们是艺术作品，为纯粹的享受而生。今天，我为此收集了10个最神奇、最耀眼、最疯狂的数学公式。这些方程应该向任何人表明，数学不仅仅是公式的记忆。

1.欧拉恒等式

这是一个很有名的身份。给出了三个看似随机的量之间的联系:π，E和-1的平方根。很多人认为这是数学中最美的公式。

更一般的公式是e (ix) = cosx+isinx (a b代表a的b次方，下同)。当x=π时，cosx取-1，isinx取0。从-1+1=0，我们得到欧拉恒等式。

2.欧拉乘积公式

上面的公式说明了实数集的基数和自然数的所有子集的基数是一样的。这一点最早由集合论创始人康托尔证明。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数的，因为2 n >: N .

一个相关的假设是连续统假设。假设n和R之间没有其他基数..有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质:既不能证明，也不能证伪。

5.阶乘函数的解析扩展

勾股定理大概是这个列表中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三条边的连接，其中A和B是右边的长度，C是斜边的长度。这个公式也把三角形和正方形联系起来。

7.斐波那契数列的一般术语

在这里，注意φ是黄金比例。很多人可能听说过斐波那契数列(0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中的每一项都是前两项的和)，但是很少有人知道有一个公式可以计算任何一个斐波那契数:这是上面给出的公式，其中F(n)代表第n项也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要计算第99个，只需要代入10个即可

值得注意的是，即使在计算过程中有很多根和除法，最终的答案始终是一个精确的正整数。

8.巴塞尔问题

这个公式告诉我们，如果你取所有的完全平方，加上它们的倒数和，你将得到 pi 2/6。这一点首先由欧拉证明。注意，这个公式在前面的第二个方程(欧拉积公式)中只使得s=2。后者是黎曼ζ方程，所以我们可以说ζ(2)的值是π^ 2；/6。

9.调和级数

这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些递减的数加起来(最终趋向于0)，你最终会得到无穷大。但是如果取他们的平方，和就是一个有限值(答案是π^ 2；/6)。如果仔细观察调和级数，你会发现它只是ζ(1)。

10.素数计数公式的显式表达

这个等式的重要性体现在:

素数是指除了1和它本身之外没有其他因子的数。小于100的素数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97所以素数的出现没有明显的规律:对于一系列连续的正整数，有时会发现很多素数，有时一个也找不到。找一大堆还是不找一个，好像完全是随机的。

数学家们长期以来一直试图给出素数分布规律。以上公式是素数个数不大于给定个数的显式表达。

以下是每个符号的含义:

π(x):素数计数函数。它给出的素数的个数不大于给定的数。比如π(6)=3，因为有三个素数不大于6: 2，3，5。

μ(n):莫比乌斯函数。根据n的素因子分解取0，-1或1。

李(x):对数积分函数。定义为函数1/lnt从2到x的积分。

ρ:黎曼ζ函数的任意非平凡零点。

令人惊讶的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数！这说明给定一个实数，我们可以代入公式，得到不大于它的素数个数。有这样一个公式的事实说明素数的分布是有一定规律的，只是我们还不能理解。

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