二项式定理教学设计 名师|上海市中学数学特级教师王志和：让难点不再成为难点

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轮廓

王致和，上海奉贤中学数学老师，上海中学特级数学老师。他的演讲充满激情，环环相扣，合情合理，引人入胜。抽象的字母和枯燥的数字在他的课堂上似乎变成了跳动的音符，让学生感到兴奋，学习数学的热情溢于言表。他能把数学和文学、物理等学科有机地联系起来，用生命解释数学。教室内外的一切都成了他讲解数学的教具。他总是注重自己的教学经验，不断积累总结。数学专业杂志发表文章近百篇。

让困难不再成为困难

-高三年级二项式定理的教学设计

前端分析

二项式定理排列在上海教育版高中数学教材三年级第五节第十六章。它既是内容整理组合后整理的自成体系的知识块，也是初中多项式乘法的自然延伸。与学习概率的二项式分布有内在联系。利用二项式定理可以进一步加深对组合数的理解，也是解决可除性、近似计算、不等式证明的有力工具，也是数学期望的基础知识。所以二项式定理起着承上启下的作用，这是本章教学的重点。可以分为三个课时，这个课时是第一个课时。

这节课的难点在于二项式定理的证明。传统教材都是用数学归纳法证明的。但由于学生掌握难度大，书写冗长，证明方法抽象，新教材干脆省略了证明，只给出了直观的解释。从数学的严格逻辑来说，是遗憾的。我教的班是地区优秀的学生，数学严谨的推理对学生的理性思维有很大的意义。所以，二项式定理如何证明，既能让学生感到有逻辑性，又能防止学生因为思维受到压抑而影响情绪，还能得到定理的严格证明，让学生用理性思维洗脑，是一件很有意义的事情。本设计在这方面进行了积极的探索。

提出的问题

二项式定理是初中时完全平坦和完全垂直的自然延伸。因为项数多，初中的多项式乘法方法会觉得力不从心，二项式系数要用组合数的形式写。传统方法有些牵强，跨度大，不方便学生理解。我们的设计是利用学生熟悉的现实情况，用两种不同的方法解决同一个问题，马上得到二项式展开的规律，一目了然。

教学设计

我们知道:

,

,

，那么对于将军来说

的二项式展开式。

设计意图:让学生熟悉二项式定理的内容，培养计算能力。

例二:二项式展开中倒数第二项；求二项式系数和二项式展开第四项的系数。

设计意图:让学生熟悉通式的应用，找出有多少项，底部第五项为正数第一项。通式中的K+1和通式中的K容易出错，需要澄清。另外，要认识到系数和二项式系数的区别。

自我反省

数学是培养人的思维发展的重要学科。所以在教学中，让学生自己去发现和总结规律是最好的方法。俗话说，“学习之道，自求多福，不如自求多福。”。本课的教学方法贯穿启发式教学原则，以激发学生主动学习、主动探究，营造以学生为主体、师生互动、共同探究的教与学情境。

在这节课中，我使用了引导发现的方法，从熟悉的递归公式和熟悉的场景入手，也运用组合的相关知识进行分析总结；通过对二项式定律的探索，训练学生通过观察、分析、猜想、归纳等方法，从特殊到一般地解决问题。这种课堂设计既注重知识的结果，又注重知识发生、发现和解决的过程，贯彻新课程标准的教学理念，培养教学内容最佳的“知识生长点”，对学生建立完整的认知结构具有积极意义。

这个设计沿着提问、设计场景、解决问题、反思应用的思路搭建了一个合适的“脚手架”，有利于突破核心思路，引导学生探索。本设计注重知识之间的联系，第二种证明方法是为基础较好的学生设计的，旨在培养学生的推理能力，开阔视野，突出方法，提升境界。

本设计着重于二项式定理的推导和求导，其次是简单应用，重点突出重点，突破难点。在设计中，我注重知识的内在联系，从特殊到一般研究问题的思维方式，并在培养学生的观察、分析、类比、归纳和猜想等推理能力方面做了一些努力。我启发学生在学习数学时要注意两个问题:一是数学的内部问题，即如何从数学内部构建相关知识，并提供足够有效的解题工具；第二是数学与现实世界的联系。国学大师王国维在《人间词话》中说:“诗人必在宇宙内外。变成这样，你就可以写了。在它之外，我们可以观察它。进入其中，是愤怒和意料之外的，所以高。”反思一下我们的数学教学，应该是内还是外。当我们看学科外的数学时，可能也有看法。本设计的情景设计是在数学知识之外寻找一个适合数学教学的问题情景。这一理念将有助于提高数学教师的专业素质和人文素质。数学教学设计的理想境界，是我们努力去实现的:“直到退潮时堤岸变宽，没有风吹动我的孤帆。”对于这样的状态，我们在不断努力。

专家意见

1.教学定位合理

二项式定理的证明原理和证明过程的理解和应用是本课的难点，也是教学的重点。对于学生来说，掌握一个原理的证明过程，理解定理证明过程中用到的原理，比知道定理是什么更重要，更有潜在的教学价值。当然，分析高中数学的基本教学要求，了解二项式定理最重要的本质是什么，用于什么，是这门课的重要教学目标。

2.展示学科教育的价值

王致和的课以二项式定理的形成过程为主线，让学生从特殊到一般进行思考。通过推导和归纳，他们得到定理，培养学生的猜测和归纳能力。全班以学生为主体，师生互动，体现了学生发展的教学理念。

本课采用引导发现的方法，从学生熟悉的多项式乘法入手，运用组合的相关知识进行分析总结。我们不仅关注知识的结果，还关注知识的发生、发现和解决的过程。一方面使学生进一步理解和明白为什么要先学习乘法原理，另一方面也形成了本课最好的“知识生长点”，对学生建立完整的认知结构具有积极意义。

3.适当的道德教育渗透将使这一设计更加辉煌

在这节课中，王致和的教学设计使学生的思维从特殊到一般，从困惑到启迪，使学生深刻体会到数学中的和谐与对称之美。设计精良，方法独特，值得学习借鉴。总结时，如果老师能及时对学生进行爱国主义教育，激发学生学习数学的民族自豪感和热情，这节课会更精彩。

结束