圆周率公式 圆周率π的计算历程及各种脑洞大开的估计方法

圆周率是一个非常著名的数字。自有史以来，这个数字就引起了外行和学者的兴趣。圆周率作为一个非常重要的常数，第一个解决了圆的计算问题。尽可能准确地得到其近似值是一个极其迫切的问题。回顾历史，人类认识π的过程反映了数学和计算技术发展的一个方面。π的研究在一定程度上反映了这个地区或时代的数学水平。人类为了获得圆周率的价值，走过了漫长而曲折的道路，其历史是有趣的。我们可以把这个计算过程分为几个阶段。

实验时间

π值通过实验估算，这是计算π的第一阶段。π值的估计基本上是基于观测或实验，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量。在古代世界，π = 3这个值其实用了很久。基督教圣经中记载最早的章节，上面的圆周率是3。这一段描述的事件发生在公元前950年左右。其他国家，比如巴比伦，印度，中国，早就用到了3的粗糙，简单，实用价值。在我国刘辉之前，“一圆一径一周三”广为流传。

早期的人也用其他粗糙的方法。比如古埃及和古希腊，把谷物放在一个圆上，通过比较谷物的数量和正方形得到数值。或者用一块统一重量的木板锯成一个圆形和一个正方形，称重并比较数值...因此，获得了稍好的pi值。比如古埃及人用4 2 = 3.1605大约四千年。在印度，公元前6世纪，使用π= √10 = 3.162。在中国东汉和西汉之交，新王朝的王莽命令刘信制造大量的容器——吕佳两湖。刘鑫在制造标准容器的过程中需要用到pi的值。为此，他还通过做实验得到了一些关于圆周率的非均匀近似。据碑文计算，计算值分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，比古代的一周三周的速率有所提高。

几何定律周期

直观推测或物理测量计算π值的实验方法比较粗糙。

要真正把圆周率的计算建立在科学的基础上，首先应该归功于阿基米德。他是第一个对这个常数进行科学研究的人，他首先提出了一种用数学过程代替测量，使π精确到任意精度的方法。因此，pi计算的第二阶段开始。

吠陀公式

这个不寻常的公式是π最早的解析表达式。即使在今天，我们也对这个公式的美丽感到惊讶。说明π值只需要借助数字2就可以通过一系列的加、乘、除、平方根运算得到。

然后各种表情出现。正如沃利斯在1650年所说:

沃利斯公式

1706年，美琴建立了一个重要的公式，现在以他的名字命名:

美琴公式

然后，利用分析中的级数展开，他计算到小数点后100位。

这个方法比可怜的鲁道夫大半辈子用来抠出来的35位小数的方法简单多了。显然，级数法宣告了经典方法的过时。从那以后，圆周率的计算就像一场马拉松比赛，记录了一个又一个:

1844年，闫芸芸使用了这个公式:

数到200。

19世纪后，类似的公式出现，π位数迅速增加。1873年，Shakes用Machin的一系列方法计算出π到小数点后707位。他花了二十年才拿到这张唱片空。他死后，人们把这种体现他毕生努力的价值，镌刻在他的墓碑上，以此来颂扬他的顽强意志和毅力。于是他在墓碑上留下了自己一生心血的结晶:π小数点后的707位数字。这个惊人的结果成为了接下来74年的标准。半个世纪后，人们相信了他的计算，或者即使怀疑，也没有办法检查它是否正确。以至于在1937年巴黎世博会发现馆的院子里，他算出来的π值还醒目地刻着。

几年后，数学家弗格森对他的计算结果表示怀疑，他的怀疑是基于以下猜想:在π的数值上，虽然数字的排列没有规律可循，但数字出现的机会应该是一样的。他数了一下Shakes的成绩，发现数字显得太不平均了。所以怀疑是错的。他用了当时能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，整整一年。1946年，弗格森发现第528名错了。100多个Shakes的价值被一笔勾销，抹去了所有可怜的Shakes和他浪费的十五年时间。

对此，曾经有人嘲笑他说:数学史在记录阿基米德和费马著作的同时，也会挤出一两行文字来描述1873年以前Shakes计算π到小数点后707位的事实。这样，他可能会觉得自己的生命没有浪费。如果是这样的话，他的目的就达到了。

1948年1月，弗格森和伦齐联合发表了808正确小数的π。这是人工计算π的最高记录。

计算机时代

1946年，世界上第一台计算机ENIAC成功制造，标志着人类历史进入了计算机时代。计算机的出现导致了计算机的一场根本性革命。1949年，ENIAC根据美琴公式计算出小数点后2035位，算上准备和整理时间，只用了70个小时。随着计算机的快速发展，他们的记录经常被打破。

图1

所以，只要我们找到正方形中能形成钝角三角形的所占的面积S，那么S/正方形的面积，也就是S，就是我们想要的概率。

第一，必须满足x+y > 1。很明显两边之和大于三边。

根据余弦定理12 = x2+y2-2xy Cossα。因为α是钝角，cos α < 0，即x2+y2 < 1。综上，x和y必须满足的关系由以下两个不等式决定:x+y > 1和x2+y2 < 1。

X+y > 1表示点只能出现在ab之上，x2+y2 < 1表示这些点只能出现在单位圆内。这不就是图1中阴影部分吗？所以:

形成钝角三角形的概率为p=S=1/4π-1/2=/4。

所以如果m个人参加实验，n个人写的x和y可以形成一个钝角三角形，那么n/m=/4，也就是π=4n/m+2。

如果这些事情没有让你吃惊，那么以下事实一定足以让你目瞪口呆:

1995年4月，英国《自然》杂志发表了一篇由伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的马修斯发表的文章。他描述了他是如何通过观察天空中明亮恒星的分布来计算圆周率的。读起来真的很让人吃惊，但是原理就是这么简单。马修斯所做的是从熟悉的事物中发现数学中有趣的真理。马修斯的实验基于一个简单的事实，即每个接触过数论的人都知道:

任意两个自然数的互素数概率为6/。

他从众多恒星中挑选出100颗明亮的恒星，将这些明亮的恒星分成一对，然后计算每对恒星之间的角距离，得到一堆数据，然后检查这些数据的因子，从中计算出π值约为3.1272，与π值3.1416的相对误差很小。

看来马修斯的工作就是从星星上得到一堆随机数，然后借助数学定理计算圆周率。受此启发，你也可以借助生活中熟悉的东西得到一堆自然数，也可以算圆周率，但是数据量一定很大，因为这是一个概率问题，数据量越大越准确。

对于上面介绍的第二种计算圆周率的方法:

任意两个正数x和y使其满足0:1的概率为/4。

受马修方法的启发，因为你的数据必须在0到1之间，所以你也可以得到一些角度数据，计算它们的正弦值，然后计算pi。数学的魅力在于把数学的本质融入生活。

π的计算方法你知道吗？欢迎给边肖留言。

如果你觉得这篇文章不错，请点击底部的广告，这是对边肖的鼓励。

参考:对科学要三思

放弃声明书

“数学建模”旨在传播数学精神，方便大家互相交流建模知识，尊重原创，对原创文章表示肯定和感谢。相关文章均来自网上搜索。有些文章没有找到详细的作者，请见谅。原作品的著作权属于原作者。如有侵权，请及时联系我们，我们将立即纠正并删除相关内容。本微信官方账号对此声明拥有最终解释权

463126884

176792348