回文数 数学中的一个奇葩：回文数

很久以前，我收到一个朋友的微信祝福:“如果你发现今天的日期是两个今天都念:2016102，我生命中唯一的一天……”。看了这条消息，我的脑海里出现了“回文数”这个概念。今天我要和大家讲一个数学上的奇葩:回文数。

“回文”是中国古典文学中一个有趣的特殊主题，包括回文和回文诗。先分享两个故事。

最著名的回文是宋代李煜写的回文。

宋代夫妻相思。李煜用干涩的眼神看着远处的山和水，在他们的交往中见过几面心。胡空怕喝一杯酒，难成和谐之诗。路很长时间阻止人离开，所以酒杯怕空锅。漫漫寂寞夜，夫妻，父子。

这首诗沿袭了丈夫为妻子着想的意境。它讲述了一个丈夫看着山和水，想着他的妻子。就算酒壶空怕喝酒，他也不会写诗。在路上遇到一个人，还会说起两人久别的事。他妻子的消息经常很晚才收到，因为没有鹅。半夜一个人，默默的回忆着自己的老婆孩子，是孤独的。

倒着读原诗，很押韵，另有意境。

宋代夫妻相思。李雨儿记得他的父亲、妻子和丈夫，孤独而长时间地守夜。鹅被送回来晚了也没有鹅的消息，漫长的分离阻碍了行程。诗词写作难，酒杯怕空壶。凑近看了一下，水隔着山望着眼睛发干。

倒着读成了妻子思念丈夫的另一种意境。我写道，我儿子记得他的父亲和妻子也想念她的丈夫。一个孤独的人空半夜守着灯，很久没有回来，也没有寄信。分开这么久，我觉得路很难走，但我想写诗却发现很难写描述。我想喝一杯酒，但我害怕酒壶空只是顺序不同。完全描述了两个人的内心。真的很神奇。

关于廉的故事有很多，但今天我们只提一个:相传古代有一位学者来游玩。看着群山，他觉得处处可爱，连山名都觉得新奇可亲。他一边参观，一边喃喃自语，不自觉地哼着对联:

斗鸡山上斗鸡；

但是，怎么也不能向下联。就在他苦思冥想的时候，突然来了一位白发老者。学者定睛一看，新人是他的启蒙老师。所以，我很开心。师生叙述完仪式后，学者表达了自己内心的苦衷。老师对他说:“你的对联是个呼应，音义一致。”学者问老师他是否正确。老师说:“我刚在龙隐山洞游泳。你为什么不把这件事办好？”说罢，大声念道:

龙隐洞穴中的潜龙。

书生听了，异常激动，叹道:“这是天赐良机！”

数学与文学有相通之处，数学中有回文，如121，12321，2016102等。在数学中，无论从左到右还是从右到左，相同个数的正整数都称为回文。

那么怎么得到回文号呢？

方法一:根据定义任意写。如:2332，76567，…

方法二:一般将任意两位以上的整数反序加到其数组成的整数上，对结果进行同样的有限次运算。比如:12+21 = 33；75+57=132,132+132=363;2579+9752=12331,

12331+13321=25652;.....等等。这只是猜测，因为有些数字并没有被“驯服”。比如196这个数字按照上面的变换规则重复了几十万次，但是回文数字还没有得到。但人们不确定手术后永远得不到回文，也不知道最后还需要多少步才能得到回文。

方法三:一般任何两位以上的整数都可以从其数组成的整数中反序减去，再除以9。如果不是回文数，结果可以除以2。例如:÷9 = 792÷9 = 88；÷9=7173÷97173=787;÷9=841752÷9=93528,93528÷2=46764;.....等等。

在十进制正整数下，所有的单个数字1、2、3、4、5、6、7、8、9都是回文，显然一个数字中有9个回文。

9个回文，两位数:11，22，33，44，55，66，77，88，99。

三位回文是101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，202，...，909，919，929，939，949，959，969，979和969

那么N位数有多少回文呢？我们来看一个湖北卷的高考题:

很容易知道一个地方9个回文，两个地方9个，三个地方90个，四个地方90个，五个地方900个，六个地方900个...可以猜测2n+1个地方有9×10^n回文。

解决方案二:

根据对称性，4位回文的1、4位取相同的非零数有9种方式，2、3位取相同的数有10种方式，所以4位有9×10=90个回文。

这个通俗的说法据说是拿破仑被流放到地中海的厄尔巴岛时说的。

不仅感叹:回文是自然人文中的一道亮丽风景。其实“世界不是没有美，而是缺少发现美的眼睛”，不是吗？朋友们！