一些数学题表面上与一元差分方程无关,但根据题目的特点巧妙构造和求解一元差分方程,则更加简洁明快,以构造方程,即已知条件为材料,以期望的结论为变形方向,形成方程形式,从问题再现方程的角度解决,反映数学的结构美。

通常,对于二次方程式ax1 bx1 c=0、ax2 bx2 c=0 (a、b、c为常数,a0),可以将x1、x2视为方程式ax bx

如果X1=x2,则X1x2的前提是:x1和x2不能完全保证是方程ax bx c=0的两个。

(1)。表达式ax bx c=0 (a 0)具有两条相同的实数根(x=x1=x2)

(2)。表达式ax bx c=0 (a 0)有两个不相等的实数根。其中x1、x2只是方程的根之一。

因而,在审题过程中必须看清是否有"x 1≠x2"这个条件,否则就会出现错误。常用构造一元二次方程的解题的策略如下:

类型一、利用根的定义构造:

若已知等式具有相同的结构,则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.

1.已知 p ²-2p-5=0 ,1/q ²-2/q-5=0,其中pq为实数,且pq≠1,求p2+1/q ²的值。

解:易知q≠0 ,故由 pq≠1 可得p≠1/q ,

又 1/q ²-2/q-5=0 即 (1/q)2 -2(1/q)-5=0 与 p ²-2p-5=0 形式相同,

从而可知 p,1/q为方程 x2-2x-5=0的两根,

p +1/q =2, p ·1/q =-5,

p2+1/q ²=(p+1/q)2-2p·1/q = 4-2×(-5)= 4+10 = 14 。

方法点拨:上题中因为有 p≠1/q这个条件,因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²-2x-5=0,从而利用韦达定理得解。

拓广变式:若把上题中的"pq≠1"这个条件去掉,将题目改为 " 已知 p²-2p-5=0,1/q ²- 2/q-5 =0,其中pq为实数,求p²+1/q ²的值 ", 则解答过程应相应改为:

解:①、当p≠1/q时, p,1/q为方程 x² -2x-5=0 的两根,

p+1/q =2, p·1/q =-5 ,

p²+1/q ²=(p+1/q)² -2p·1/q = 4+10 = 14 。

②、当p = 1/q时,解p²-2p-5=0 得 p=1±√6 = 1/q ,

p² + 1/q ²=2p² =2(1±√6)² = 14±4√6 ,

∴由 ①、②可知 p²+ 1/q ²的值为14或14+4√6或14-4√6。

类型二、确定主元构造:

对于含有多个字母的等式,可以将等式整理为关于某一个字母的一元二次方程.

即y=±1当y=1时,得x=±1;当y=-1时,无解.

故满足方程的所有整数对为(1, 1), (-1, 1).

3. 若abc为实数,且a²+b²+c²-abbcca=0,求证:abc

证明 由已知等式,可构造关于c的一元二次方程c²-(abc+(a²+b²-ab)=0.

c为实数,∴△=[-(ab)] ²-4(a²+b²-ab)=-(ab)²2≥0.

ab为实数,∴(ab) ²≥0,-3(ab) ²≤0,

∴-3(ab)²=0,∴ab.同理可证bc,∴abc

类型三、利用求根公式构造一元二次方程

类型四、利用根与系数的关系构造:

若题目中出现形如x+y=a,xy=b的关系或隐藏着这种关系时,则

可看做是方程x²-ax+b=0的两实数根.

5. 假设x、y、z都是实数,且满足x+y+z=a, ①

x²+y²+z²=a²/2(a>0) ②

试证:x、y、z都不能是负数,也不能大于2a/3

证明:由①式得:x+y=a-z ③

由(③²-②)÷2得xy=(a/2 -z) ², ④

根据③、④构造一元二次方程t²-(a-z)t+(a/2-z) ²=0 ⑤

∵方程⑤有实根,

∴△=(a-z) ²-4(a/2-z) ²=-3z(z-2a/3) ≥0,

解这个关于

的一元二次不等式,得0≤z≤2a/3,

同理可证0≤x≤2a/3, 0≤y≤2a/3.

类型五、利用根的判别式构造:

若问题中出现形如△=b²-4ac的关系式时,可把a,b,c看做是一元二次方程的系数.

6. 已知(a-b) ²-4(b-c)(c-a)=0,求证:2c=a+b

简证:分两种情况讨论.

(1) 当b=c时,易得a=b=c,显然2c=a+b

(2) 当b≠c时,则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程

(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.

又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,

由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1,即2c=a+b.

7. 已知n² (pm) ²=4mp(mn)(np),求证:1/m+1/m=2/p.

证明,由已知n² (pm) ²=4mp(mn)(np),

n² (pm) ²-4mp(mn)(np)=0.

∴方程p(mn)x²+n(pm)xm(np)=0(mn)有两个相等的实数根.

p(mn)+n(pm)+m(np)=0,

∴方程的两个实数根为x1=x2=1.

根据根与系数的关系,得1×1=m(n-p)/p(m-n)

化简得mnnp=2mp,∴1/m+1/m=2/p(mn

mn时,由已知可得pm,此时亦有1/m+1/m=2/p成立,

综上,1/m+1/m=2/p成立.

类型六、利用平方法构造:

利用已知量与所求量存在的平方关系构造.

8.利用平方根去根号可以构造一个整系数方程.例如:x=√2+1时,移项得x﹣1=√2,两边平方得(x﹣1)²=(√2)²,所以x²﹣2x+1=2,即x²﹣2x﹣1=0.仿照上述构造方法,当x=(√6- 1)/2时,可以构造出一个整系数方程是( )

A.4x²+4x+5=0B.4x²+4x﹣5=0C.x²+x+1=0D.x²+x﹣1=0

【解答】由题意可得:x=(√6- 1)/2,

可变形为:2x=√6﹣1,则(2x+1)=√6,故(2x+1)²=6,

则可以构造出一个整系数方程是:4x²+4x﹣5=0.

故选:B。

9. 若y=3-√6,求y²-6y+5的值.

解析:∵y=3-√6,∴y-3=-√6.

∴两边平方并整理得,y²-6y+3=0, ∴原式=( y²-6y+3)+2=2.

通过以上9个题目解答学习,我们应意识到构造一元二次方程解题作为一种数学思维方法,在解决某些数学问题时,若能充分挖掘题目中潜在的信息,构造与之相关的函数,将陌生问题转化为熟悉问题,可使问题顺利解决。

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