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首先，什么是进位计数系统
数制，又称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。根据进位原理进行计数的方法称为进位计数系统。比如十进制计数系统，按照“每十进制一”的原则进行计数。
通用进位计数系统:
1.十进制记数法，有10个基数:0 ~~ 9，每十进制一个；
2.二进制记数法，用两个基数:0 ~~ 1，每二进制一个；
3.八进制记数法，8基数:0 ~~ 7，每八位字节为一；
4.十六进制记数法，有16个基数:0 ~ 9，a，b，c，d，e，f (a = 10，b = 11，c = 12，d = 13，e = 14，f = 15)，每十六进制一个
二、进位计数系统的基数和比特权重
“基数”和“比特权重”是进位计数系统的两个要素。
1.基数:
所谓基数，就是进位计数系统每一位上可能出现的数的个数。例如，每个十进制数上的数字有十位:“0”、“1”、“3”、“9”，所以基数是10。
2.向右定位:
所谓比特权重，是指数值的每个比特上的数的权重的大小。例如，从低位到高位的十进制数4567的位权重分别为100、101、102和103。因为:
4567=4x103+5x 102+6x 101 +7x100
3.数字右位的表示:
任何数系的数都可以用比特权展开的多项式之和来表示。
例如，十进制数435.05可以表示为:
435.05 = 4x 102+3x 101+5x 100+0x 10-1+5x 10-2
比特权重表示的特点是:每项=某一位置上的数x基数的几次方；而幂的大小是由数的位置决定的。
第三，二进制数
为什么在计算机中使用二进制:二进制运算简单，电路简单可靠，逻辑性强。
1.定义:
按照“每二进制一”的原理计数，称为二进制数，即每一位数为2时，向高位走1。
2.特点:
每个数字的位数只能是0和1；二进制数的最大值为1，最小值为0。基数为2；
例如，10011010和00101011是两个二进制数。
3.二进制数的右位表示:
(1101.101)2 = 1x 23+1x 22+0x 21+1x 20+1x 2-1+0x 2-2+1x 2-3
4.二进制数的运算规则:
添加操作
① 0+0=0 ③ 1+1=10
② 0+1=1+0=1
乘法运算
① 0×0=0 ③ 1×1=1
② 0×1=1×0=0
四、八进制数
1.定义:
按照“八分之一”的原理计数，称为八进制数，即每一位数到8，就往高位上加一。
2.特点:
每个数字的位数只能是8位:0、1、2、3、4、5、6和7。八进制数中最大值为7，最小值为0。基数为8；
例如，(1347)8和(62435)8是两个八进制数。
3.八进制数的位权限表示:
(107.13)8 = 1x 82+0x 81+7x 80+1x 8-1+3x 8-2
五，十六进制数
1.定义:
按“每十六进制一”的原理计数，称为十六进制数，即每一位数字数到16时，就往高位上加一。
2.特点:
每个数字的位数只能是十六位数字:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、a、b、c、d、e、f；十六进制数中最大值为f，即15，最小值为0；基数是16；
例如，(109)16和(2FDE)16是两个十六进制数。
3.十六进制数的右位表示:
(109.13)16 = 1x 162+0x 161+9x 160+1x 16-1+3x 16-2
(2 FDE)16 = 2x 163+15x 162+13x 161+14x 160
六、常用计数系统之间的对应关系
二进制数、八进制数、十六进制数和十进制数是现代数字系统中常用的四种数字系统，这些进位计数系统之间的对应关系列于表1。
表1常用计数系统的表示方法
小数
二进制(数字)
八进制数
十六进制数
0
0
0
0
一个
一个
一个
一个
2
10
2
2
三
11
三
三
四
100
四
四
五
101
五
五
六
110
六
六
七
111
七
七
八
1000
10
八
九
1001
11
九
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
一万
20
10
17
10001
21
11
18
10010
22
12
19
10011
23
13
20
10100
24
14
32
100000
40
20
50
110010
62
32
60
111100
74
3C
64
1000000
100
40
100
1100100
144
64
255
11111111
377
消防
1000
1111101000
1750
3E8
七、数制之间的转换
1.十进制数被转换成非十进制数
(1)十进制整数被转换成非十进制整数
(1)为什么要在数字系统之间转换？
将数字从一个数字系统转换到另一个数字系统称为数字系统之间的转换。
因为日常生活中经常使用十进制数，而计算机中使用二进制数。因此，在使用计算机时，需要将输入的十进制数转换成计算机可以接受的二进制数。计算机运行后，将二进制数转换成人们习惯的十进制数并输出。这两个转换过程完全由计算机自动完成。
②转换方法
“余数法”用于将十进制整数转换为非十进制整数，即余数由基数除得到。
十进制整数按任意十进制数的基数逐次去除，直到商为0，然后余数自下而上排列。
③十进制小数到非十进制小数的转换方法
十进制小数通过“进位法”转换为非十进制小数，即基数相乘取整数。
十进制小数连续乘以其他十进制的基数，直到十进制小数的当前值等于0或满足要求的精度，最终乘积的整数部分自上而下排列。
2.非十进制数被转换成十进制数
非十进制数通过“位重法”转换成十进制数，即每个非十进制数按照位重展开，然后求和。
3.二进制、八进制和十进制之间的转换
(1)二进制数和八进制数的转换方法
①将二进制数转换为八进制数时，采用“三位数加一位数”的方法。
以小数点为界，整数部分从右到左分为三位。最高位数小于三位数时，加0组成三位数；小数部分从左到右排列成三位数一组。如果最低有效位少于三位数，加0组成三位数。然后将每组三位二进制数按权重展开相加，得到一位八进制数。
②将八进制数转换为二进制数时，采用“一位到三位”的方法。
也就是说，八进制数的每个位上的数字由相应的三位二进制数表示。
③二进制数和十六进制数的转换方法
A.当将二进制数转换为十六进制数时，应采用“四位数加一位数”的方法。
以小数点为界，整数部分从右到左分为四位。最高位数小于四位数时，加0组成四位数；小数部分从左到右。如果每四位数的最低有效位少于四位数，则加0组成四位数。然后将每组四位二进制数按权重展开相加，得到一位十六进制数。
b、将十六进制数转换为二进制数时，采用“一位数字分成四位数字”的方法。
也就是说，十六进制数的每一位上的数字由相应的四位二进制数表示。
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