0是不是正整数 0是不是自然数？---用数学的语言看世界

在最后一期，张文推荐用数学语言看世界。

读者田显正指出，“数学语言看世界”这个名称是对儿童的误导。起初，我以为彭先生弄错了。后来是个标题。

彭昱成回答:数学不是人，没有眼睛和嘴巴。应该说，数学思维，数学方式，拟人手法，就是数学视觉。这个翻译可能不太符合我们的习惯。书中还有一些小错误。

0在本书中不视为自然数。脚注有说明，大概是翻译或者编辑加的。

有读者留言指出这个问题。

那么0是自然数吗？

在八九十年代的中小学教科书中，0不是自然数。为什么0会突然变成自然数？

事实上，这并不是一下子发生的。直到现在，学术界仍有争议。

分为两个学派，一个是数论学派，他们不承认0是自然数。

比如丹盾教授的《有趣的数论》就是这样。现在转载，为了符合现在中小学的规定，但是编辑要尊重丹盾教授的初衷，所以只能加注释。

另一派是集合论派，极力主张0是自然数。目前集合论学派占了上风，掌握了话语权。

综上所述，这个问题在学术界是有争议的。

在中小学的教学和考试中，我国的有关文件都明确规定0是自然数。从考试的角度，请记住0是自然数。特此声明。

彭宇成注:这本书前言的前两段很有意思。

第一段表达了父母的感受，希望孩子能有所创造。

第二段说明日本人担心中国和印度的崛起。但是作者从更高的层面思考，认为只有全人类都进步了，我们才能活得更好！

为女儿的数学礼物作序

当你出生时，我想，我希望你能在这个世界上快乐生活的同时，成为社会进步的推动者。虽然现代社会有很多问题，但我认为这是人类历史上最激动人心的时刻。像每一位父母一样，我希望我的孩子能享受世界上最好的东西。然而，仅此还不够。这个美好的时代是由人类的智慧和努力构建的。希望你不仅是成就的受益者，也成为创造者，为后人留下更好的成就。

21世纪也可以说是一个不确定的时代，国际社会的规则在不断变化。中国有13亿人，印度有12亿人。如果这些群体中的大多数接受高等教育，然后从事知识研究，世界将呈现出新的面貌。说起这件事，有人担心日本和美国作为发达国家会受到威胁，但我不这么认为。如果发展中国家的数十亿人获得良好的教育机会，许多解决当前社会问题的新方法将会出现。随着世界整体教育水平的提高，可以分配的“蛋糕”可以更大。对于出生在21世纪的你来说，这些情况既是挑战，也是巨大的机遇。

在这个瞬息万变的世界里，独立思考的能力是不可或缺的。欧洲有“文科”的教育传统。自由主义原本的意思是“自由”，意思是“永远不要做奴隶”。也就是说，自由化艺术是一种使人掌握自己命运，成为自由人的修养。无论是成为领导，还是面对意想不到的问题，都要锻炼独立思考和解决问题的能力。

在古罗马，“七大艺术”是逻辑、语法、修辞、音乐、天文学以及算术和几何。前三项是锤炼“论证”的语言技术。我认为这三项排在第一位是因为它们是语言形成的必要条件。只有学会使用语言，我们才能获得思维能力。

七大艺术中，“算术”和“几何”属于数学领域，我觉得很有意思。通常人们认为语言领域的文学或者外语文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学和语言学习是一回事。数学能准确描述事物，超越了英语、日语等自然语言的表达能力。所以，如果我们理解了数学，就能看到那些看不见的东西，想出我们从未想过的新点子。

我在小学的时候并没有那么喜欢“算术”，但是进入中学以后，“算术”演变成了“数学”，我渐渐喜欢上了这门学科。带来这种改变的机会，来自于我独立思考时带给我的愉悦。我解数学题的时候，只有一个答案，没有别的。当面对学校里学到的知识无法解答的问题时，这种快感就越来越强烈。而且我不需要问老师答案是否正确，因为我可以独立判断。就像婴儿迈出第一步，新技能拓宽了对世界的体验。希望你也能体会到这份荣幸。

这本书是为了帮助你在21世纪过上有意义的生活而写的。当然，如果你想系统地学习数学，最好用学校的课本。如果把数学看成一门语言，比如把数学比作法语，那么这本书不是从零开始一步步教语法和单词，而是一套实用的会话集。有了它，你可以去法国旅行，用法语在巴黎的餐馆点菜。甚至在服务员介绍“今日推荐菜品”的时候，你也能立刻了解并判断这道菜是否该点。或者去卢浮宫参观，接触过去的伟大作品，可以提升自己的精神境界。除了数学的实际应用，这本书还将讲述从古巴比伦到古希腊数学发展的有趣故事。

我不是数学家。1989年从东京大学获得物理学博士学位，五年后被加州大学伯克利分校聘为教授。从2000年开始，我一直在加州理工学院物理教研室工作。但是2010年，数学教研室的老师邀请我去当数学教授。一开始我以“我从来没有验证过什么著名的定理”为由拒绝了，但他们劝我“验证定理不是对数学有贡献的唯一途径”。你的研究为数学研究提出了新的问题，促进了数学的新发展，所以我不得不接受他们的建议。其实我提到过很多关于数学的猜想，这些猜想都被数学家准确地证明了。所以，我不是证明定理的数学家，而是公认的数学的使用者。这本书讲的也是从用户角度讲的数学知识。

我决定在个人主页上补充一下认证流程、后续话题以及本书没有说明的参考文献，以保证在出现新的发展时，能够及时补充相关知识和新的参考文献。当然，读这本书的时候不需要补充知识。读完这本书，如果你想了解更多，也许浏览我的个人主页http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics是一个不错的选择。本文还会引用与内容相关的知识点。

用数学语言看世界

彭昱成

这几天看了一本新书《用数学语言看世界》。作者是一位日本物理学家，Hiroshi Kuriba。他可能在物理方面取得了更大的成就，但他对数学也有很深的理解。

这本书是作者为女儿写的，所以和普通科普书有很大区别。这本书没有列出很多知识点，但重点是:

用数学的眼光看现实世界，

用数学思维分析现实世界，

用数学语言表达现实世界。

掷硬币的独立性

如果你扔一枚硬币，扔10次，全部面朝上，然后扔第11次。你怎么想呢?

肯定有人会说，下一次和前10次无关，所以正负概率是1/2。

的确，我们中学课本上也是这么说的。

问题是教科书为了简化，总是假设硬币是正面和背面没有区别的理想硬币。现在扔10次是正的，说明这个硬币可能有问题，不是理想硬币。

基于这枚硬币之前的表现，我们完全有理由猜测，下次更有可能是正面的。

本书第一章是关于如何利用贝叶斯定理从不确定信息中进行判断。

书中有很多翔实的案例，下面列举其中一个。本案是真实案例，影响很大。

这本书的第二章讲述了回归的基本原理，以加深理解。

华说:学好数学，善于“退”出复杂的问题，并且“退”到最原始的地方而不丧失重要性，这是一个诀窍。

理解消极有多积极是个大问题。作者认为应该回归基础。

负数的基本性质是，对于任意一个A，都有-a，所以a+(-a)=0。

书中有这样一段对话。

面试官:在你最近的面试中，你给了追求创新的年轻人一个建议，提到了从基本原则出发思考而不是模仿别人的重要性。你能对此说得更具体一点吗？

马斯克:我们在日常生活中通常不会从基本原则出发去思考。如果我们这样做，我们在精神上无法忍受。所以，我们的大部分生命都是靠类比或者模仿别人度过的。但是当我们想要开拓一个新的领域或真正意义上的创新时，我们必须从基本原则出发。任何领域都一样。我们必须首先发现这个领域最基本的真理，然后重新思考。实现这个过程需要精神上的努力。我举个例子。回归基本原理对我的火箭生涯起到了作用。

下面几章也很精彩。

比如第九章讲解高阶方程。

解不同的方程难度不同。如何建立评价难度的标准？

二次方程为什么有解？你可以想出解决方案，并展示给别人看。所以很好解决。

正如历史学家的名言，不费力就容易破。但是很难判断一维五次方程没有根本解。

如何从二次方程中得到启发，深入研究对称性，引入群的概念，进而开创数学的新分支…

看看亚伯和伽罗瓦是怎么做到的。

为女儿的数学礼物作序

第一章从不确定信息判断

第二章回归的基本原则

第三章大数字并不可怕

第四章不可思议的素数

第五章无限世界和不完全定理

第六章测量宇宙的形状

第七章差异化源于整合

第八章实数“虚数”

第九章衡量“困难”和“美好”

附笔

很多人问:有没有关于数学与生活关系的书？我想这就是了。