49是质数吗 人无完人，但是数有完美数，2600多年的寻找，数学家只找到49个！

完全数，又称完全数或完全数，是一种非常特殊的自然数，也就是说它是完美的。

定义为:所有真因子之和恰好等于其自身数。

比如6的真因子是1，2，3；而1+2+3=6，所以6是完美的。

毕达哥拉斯在公元前6世纪开始研究完全数。当时只找到了6和28个完全数。上帝创造世界只用了6天，月亮绕地球一周用了28天。

在历史文化中，这两个数字经常出现。比如中国古代有六谷，秦始皇以六为国号，天上有二十八颗星。

公元前4世纪，欧几里德在《几何元素》第9章中演示了一个求完全数的公式。

如果p是素数，2 p-1也是素数，那么 x2 就是完全数。这种方法给出了完全数的充分条件和不必要条件。

那么对完全数的搜索就变成了对2 p-1是素数的搜索，例如:

当p=2时，6是完美的。

当p=3时，28是完美的。

当p=5时，496是完美的。

当p=7时，8128是完美的。

……

然而，第五个完全数变得很难找到，直到一千年后的15世纪才被一个匿名的人发现。是33550336，p=13。

17世纪，数学家梅森在前人的基础上对2 p-1做了大量的研究，断言当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时2 p-1是素数，但后人在p=67，257时发现了它。

但梅森数增长非常快，极难找到下面的梅森素数。值得一提的是，1772年，伟大的瑞士数学家欧拉双目失明，仅通过心算就验证了M31是素数。

目前最大的梅森素数是2016年美国数学家利用计算机发现的第49个梅森素数，其中p=74207281。如果把十进制M74207281写在书上，可以填几十本书。

到目前为止，梅森素数中是否有无穷多个是未知的，所以完全数中是否有无穷多个也是未知的，偶数中是否有奇数个完全数也是一个谜。

寻找梅森素数是有意义的。因为分解一个数是极其困难的，但是把两个素数相乘是非常容易的，我们的加密算法中选择的素数越大，被破译的概率就越低，而梅森素数提供了一种简单的寻找大素数的方法。

此外，完全数还有几个有趣的性质:

目前发现的所有完美数字都以6或28结尾。

到目前为止发现的完全数都是偶数，而且都可以由梅森素数转化而来。

完全数是三角数。

完全数的所有倒数都是调和数。

完全数可以表示为连续奇数立方数之和。

完全数的位数都是1。

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