静电场习题 大学物理静电场练习题集与答案解析

7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大? 解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电Q?q， 两点电荷之间的库仑力为 ??1Q?qq4??r0dFdq?0由极值条件，得 1q?Q 2又因为 2dF1?? 0 dq2??r0这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2?很小。试证平衡时有下列的近似等式成立： ?ql?3 x??? ??2??mg??0式中x为两球平衡时的距离。 如果l= 1.20 m，m=10 g，x=5.0 cm，则每个小球上的电荷量q是多少? ?9-1如果每个球以1.0?10C?s的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少? 解：带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有 Tsin??F Tcos??mg 由此二式可得 Ftan?? mg??tan??x2l因为?很小，可有，再考虑到 2qF? 4??x0可解得 12?ql?3x????? 2??mg??0 由上式解出 132??mgx?q??????2.38?10C0?8 ??l?? 由于 11??3dxl2?dq2xdq?????q?3 ??dt2??mg3dt3qdt??0带入数据解得 ?3-1??1.40?10m?s 合力的大小为 212ex??2??? F?F?2Fcosx???x12?d?02?d?2??x?2??2??2132ex4???22?0令dFdx?0，即有 2?2?8e138x ???0 ?????3252???22222?4x?d4x?d?由此解得?粒子受力最大的位置为 dx?? 7-4 由相距较近的等量异号电荷+ q - q 组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及l 土壤颗粒表面的双电层可视为许多电x P O 偶极子的集合。因此，电偶极子是一个l l 十分重要的物理模型。图7-45所示的 l - q + q 电荷体系称电四极子，它由两个电偶极图7-45 练习题7-4用图 子组合而成，其中的q和l均为已知，对图7-44中的P点，证明当x ? l时 E? p4??x40其中，p=ql 称电偶极矩。 解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E和E，由教材例题7-3可知 左右pE? ?方向向下? 左34???x??l02pE? ?方向向上? 右34???x??其中，p=ql。 P点处的合场强为 33xl?2??2lE?E?E???右左333 4???x??4???x???2l?ll4??20x???0202??2由于 x ? l 上式可简化为 3pl E? ? 方向向上 ? 0证毕。
7-5 如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为?，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度： ?为常量，且? 0； ?=kx，k为大于零的常量，。 P O A x
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为 ??11??ll1?dx?????? E?? ??bb?l4??b?b?l?04???x?b?4??000方向沿x轴的负方向。 同样取电荷

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