行列式定义 1.1行列式的定义和性质解读

性质2 如果将行列式的任意两行互换， 那么行列式的值改变符号，即 例如 ． 性质3 如果行列式中两行对应元素全 部相同，那么行列式的值为零，即 ． 行 行 例 性质4 行列式一行的公因子可以提 到行列式记号的外面，即 例如 推论2 如果行列式中有一行的全部元素都是零，那么这个行列式的值是零. 推论1 一个数乘行列式等于该数乘行列式中某一行的全部元素. 性质5 行列式中如果两行对应元素成比例，那么行列式的值为零. ， 那么此行列式等于两个行列式之和. 性质6 行列式中一行的每一个元素如果可以写成两数之和， 即 例如二阶行列式 ． 性质7 在行列式中，把某一行的k倍加到另 一行对应的元素上去,那么行列式的 值不变，即 用性质6和性质5可证之. 例 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 符号规定 第i 行乘以数k? 记作 kri ? 交换i? j 两行记作 ri?rj ? 交换i? j 两列记作 ci?cj? 以数k乘第j 行加到第 i 行上? 记作 krj +ri ? 切记：krj +ri不同于ri + krj 例1 计算下面行列式的值． ； ． 应用举例 解 把 的第二行的元素分别看成： 300-10，100+6，200-4，由性质4，得 而由推论2和性质3、性质5，得 ， ， 所以 ． 例2 计算行列式的值 解 例3 证明 证 ． 思考题 思考题解答 解 河南职业技术学院基础社科部 §1.1 n 阶行列式 第一章 行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 克拉默法则 §1.4 克莱姆法则解线性方程组 用消元法解二元线性方程组 一、二阶行列式的引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 22 12 a a 21 11 a a D = 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 二、三阶行列式 定义 记 式称为数表所确定的三阶行列式. 沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 则三元线性方程组的解为: 例２ 解 按对角线法则，有 例3 解 方程左端 例4 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 小结 对于数码 is 和 it ： 逆序数：一个排列中逆序的个数， 例 求 132 、436512 的逆序数 解 逆序数为偶数的排列称为偶排列， n 阶排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组 132 是奇排列， 436512 是偶排列。 但 312是偶排列， 634512、436521是奇排列。 三、排列与逆序数 大前小后叫逆序 记为： 为奇数的称为奇排列。 可见：交换任何两个元素改变了排列的奇偶性！ 再分析P. 5的表1-1 排列 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 逆 序 无 32 21 21，31 31，32 32，31，21 逆 序 数 0 1 1 2 2 3 奇偶性 偶 偶 偶 奇 奇 奇 ? 一个对换改变排列的奇偶性； ? 3!个排列中，奇、偶排列各占一半。 定义 一个排列的两个元素交换位置,其余元素 不动,称为对换. 相邻两个元素的对换称为相邻对换. 定理1 对换改变排列的奇偶性。 证 设元素 i,j 相邻： ? 若 i j , 则新排列增加一个逆序; ? 若 i j , 则新排列减少一个逆序。 — 改变了奇偶性 设元素 i,j 不相邻： 共作了2s+1次相邻对换， 由知，排列改变了奇偶性。 定理2 n 个数码构成 n! 个n 级排列， 奇偶排列各占一半。 证 设有p 个奇排列，q 个偶排列， p 个奇排列 p 个偶排列 q 个偶排列 q 个奇排列 四、n 阶行列式的定义 定义 其中 称为的第 行第 列的元素 ． 横排称行,竖排称列. 的一般项还可记为 列标按自然顺序排列 n阶行列式的另外两种表示 特别： 对角形行列式等于对角线上元素之乘积 O O 例 定义 中的行与列按原来的顺序互换，得到的新行列式称为原行列式的转置行列式,记为D T. 把n阶行列式 五、行列式的性质 显然 也是 的转置行列式. 例如 ． 性质1 行列式 与它的转置行列式 相 等，即 ． 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 河南职业技术学院基础社科部

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