离散型随机变量的方差公式 2.3.2离散型随机变量的方差

[例1] 已知随机变量X的分布列为 求X的均值、方差和标准差． [例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6. 求一次投篮命中次数X的期望与方差； 求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差． [分析] 投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布． 重复五次投篮的投中次数η服从二项分布． [解析] 投篮一次命中次数X的分布列为 则E＝0×0.4＋1×0.6=0.6， D＝2×0.4＋2×0.6＝0.24. 由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B． 由二项分布期望与方差的计算公式，有 E＝5×0.6＝3，D＝5×0.6×0.4＝1.2. [点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点： 写出离散型随机变量的分布列； 正确应用均值与方差的公式进行计算． [例4] 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点项目建设，为了对重点项目建设负责，政府到两建材厂抽样检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下表： [解析] E＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D＝0.1×2＋0.2×2＋0.4×2＋0.1×2＋0.2×2＝50， D＝0.1×2＋0.2×2＋0.4×2＋0.1×2＋0.2×2＝165， 由于E＝E，而D＜D， 故甲厂的材料稳定性较好． [例5] 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①某人有5把钥匙及其各自的功能；②不放回地取钥匙打开门． 解答本题可先设出试开此门所需的次数，再逐一试开，求出分布列，然后根据公式求解． 一、选择题 1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是 A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 [答案] B [解析] E＝9.2，E＝9.2＝E，D＝0.76，D＝0.56 D，乙稳定． 2．设随机变量X～B，且E＝1.6，D＝1.28，则 A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 [答案] A 二、填空题 4．某射手击中目标的概率为p，则他射击一次击中目标的次数X的均值是________，方差是________． [答案] p 1－p 5随机变量X的分布列如下表： 其中x、y、z成等差数列，若E＝ ，则D的值是______． 三、解答题 6．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，取出后不再放回，共取3次．若以X表示取出次品的个数，求X的均值和方差． [分析] 首先求出各种情况的概率，写出概率分布，注意零件取后不放回． z y x P 2 1 0 X * * 2.3.2离散型随机变量的方差 高二数学 选修2-3 肥城一中高二数学组 一、复习回顾 1、离散型随机变量的数学期望 2、数学期望的性质 ··· ··· ··· ··· 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 三、如果随机变量X服从两点分布为 1－p p P 0 1 X 则 四、如果随机变量X服从二项分布，即X～ B，则 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 二、互动探索 P 4 3 2 1 X 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 加权平均 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 为随机变量X的方差。 ··· ··· ··· ··· 称 为随机变量X的标准差。 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 三、几个常用公式： 四、例题 例题2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 0.1 0.2 0.3 0.4 获得相应职位的概 率P1 1800 1600 1400 1200 甲单位不同职位月工资X1/元 0.1 0.2 0.3 0.4 获得相应职位的概 率P2 2200 1800 1400 1000 乙单位不同职位月工资X2/元 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： 在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。 0.6 0.4 P 1 0 X 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1 P 145 130 125 115 100 η 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1 P 135 130 125 120 110 ξ 其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下， 比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好． 三、基础训练 1、已知随机变量X的分布列 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 P 4 3 2 1 0 X 求D和σ。 解： 2、若随机变量X满足P＝1，其中c为常数，求E和D。 解： 1 P c X 离散型随机变量X的分布列为： E＝c×1＝c D＝2×1＝0 五、方差的应用 例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下： 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。 0.2 0.6 0.2 P 10 9 8 X1 0.4 0.2 0.4 P 10 9 8 X2 解： 表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。 问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 0.2 0.6 0.2 P 10 9 8 X1 0.4 0.2 0.4 P 10 9 8 X2 相关练习： 3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E和D。 117 10 0.8 2，1.98 4.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为 0.6和0.7 1.7和0.3 0.3和0.7 1.7和0.21 5.已知x~B,E=__,D=___,s=__. E=____, D=____, s=_____ 0.7 0.3 P 2 1 x D 50 25 5 99 100 10 0.4 0.4 0.2 P 0.5 0.2 0.3 P 10 9 8 环数k [答案] C

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