矩阵的运算及其运算规则

今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算

一、矩阵的加法与减法

1、运算规则　　设矩阵

则

清北学堂信息学金牌教研团队提醒，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　　满足交换律和结合律

　　交换律　

；

　　结合律　

．

二、矩阵与数的乘法

　　1、运算规则数

乘矩阵A，就是将数

乘矩阵A中的每一个元素，记为

或

．　　特别地，称

称为

的负矩阵．　　

2、运算性质　　满足结合律和分配律　　结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．　　分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1　已知两个矩阵

满足矩阵方程

，求未知矩阵

．解　由已知条件知

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、运算规则　　设

，

，则A与B的乘积

是这样一个矩阵：　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即

．　　(2) C的第

行第

列的元素

由A的第

行元素与B的第

列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2　设矩阵

计算

解

是

的矩阵．设它为

想一想：设列矩阵

，行矩阵

，

和

的行数和列数分别是多少呢

是3×3的矩阵，

是1×1的矩阵，即

只有一个元素．课堂练习　　1、设

，

，求

．　　

2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．　　

3、设列矩阵

，行矩阵

，求

和

，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？　　

4、设三阶方阵

，三阶单位阵为

，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

解：　　第1题

．　　第2题　　对于

，

．　　求是有意义的，而是无意义的．

清北学堂信息学金牌教研团队结论

结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．　　

第3题

是矩阵，是的矩阵．

．

结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．　　

第4题　　计算得：

．　　

结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即

．　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3　设

，试计算和

．解

．

结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组

可以写成矩阵的形式

＝

若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

，

，

，　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：

2、运算性质（假设运算都是可行的）　　

(1)　结合律　

．　　(2)　分配律　

（左分配律）；

（右分配律）．　　(3)　

3、方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，

显然，记号表示个A的连乘积．

下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置

四、矩阵的转置

1、定义

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

或

．　　例如，矩阵

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　

　(1)　

　　(2)　

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　

(1)　

验证运算性质：

解

而

所以

．

定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

1、定义

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作

或

2、运算性质　　(1)

（行列式的性质）　　(2)

，特别地：

(3)

（

是常数，A的阶数为n）思考：设A为

阶方阵，那么

的行列式

与A的行列式

之间的关系为什么不是

，而是

？　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下

和

．　　例如

，则

．　　于是

，而

．思考：设

，有几种方法可以求

？解 方法一：先求矩阵乘法

，得到一个二阶方阵，再求其行列式．　　　　方法二：先分别求行列式

，再取它们的乘积．

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