利用EXCEL“傅利叶分析”工具进行频谱分析
重庆三峡学院 关文忠
EXCEL分析工具库中内置了分析工具“傅利叶分析”，其功能是进行离散型快速傅利叶变换，也可进行傅利叶逆变换。
傅利叶变换是将时间序列数据转换为频率序列数据，以便了解序列的频率构成。
对于时间序列可展开为傅利叶级数：
式中：
N为观测值个数；k为周期分量个数；fj为频率
εt为误差项，是由于选取级数前k项所产生的。
时间域序列xk变换到频率域序列ωj的公式如下:
式中：N为序列数据项数，对第j个分量：
aj为实部，bj为虚部，模，辐角
我们所关心的是序列主要由哪些频率成份构成及其振幅。操作方法如下：
Step1．取得时间序列数据{xk}，要求项数N为2的整数次幂，即2、4、8、16、32…，项数最大限制为4096。N选择多大为好，要视频谱分析时要分析的项数。N个数据中，最多能分析N/2+1个频率构成。
Step2．时间序列{xk}各项减其平均数E得中心化时间序列；
Step3．利用“傅利叶分析”工具进行快速傅利叶变换，得ωj；
Step4．利用IMABS函数求得复数的模。该序列第1项为0，去掉之，从第2项起共奇数项，中间项为常数项，两侧是完全对称的。绘制折线图观察之，通常只观察前半部分；
Step5．更改横坐标，观察频率分布。
需要指出的是：数据系列的周期性，是系统的特性，并不是由采样的时间间隔和样本量的多寡所决定。
应用举例：何先生，在自己所从事的工作中，以每分钟等间隔抽样200次，抽取了168383条记录，下图中只列出前几条：
图1 部分数据资料
以CH#1为例，从中按顺序选择样本量为128的样本，编制频谱分析图如下：
Step1:先按顺序截取128个样本单位的样本。
图2 128个样本单位的傅利叶分析
Step2:在C1单元格输入“=AVERAGE”求得平均数，在C3单元格输入公式，求得观测值与平均值之差，并向下复制到B3:B129。
Step3:工具|数据分析|傅利叶分析，设置对话框如图3，求得如图2中D列的傅利叶变换。
图3傅利叶分析对话框设置
Step4:在E2单元格输入如图2所示函数，求得D2单元格复数的模，向下复制到B3:B129。将B2:B129制成折线图如图4
图4 频率各构成成分的模
由图可见，图形是完成对称的，通常只看前面一半。需要指明的是该频谱图是由系统特性决定的，样本量不同，其频谱是类似的，只是图形密集程度不同和模的大小不同。模是由多个周期样本模的叠加的结果，样本量越大，模越大。但这一点并不影响分析的结果，我们只考虑频率强度从大到小的有限个频率，即考虑主要频率构成。
Step5:确定横轴分类标志:
将图形的横轴先进行编号，编号从0开始，本例选择128个样本单位，编号为0~127，然后再用编号值除以128，得到一个周期，周期的倒数即为频率。
按此方法制作了N=512、N=2048和N=4096的频谱图如下：
图5 N=128的频谱图
图6 N=512的频谱图
图7 N=2048的频谱图
图8 N=4096的频谱图
由图可见，样本量越多频率构成越丰富。但分析频谱时，都集中在峰值附近，不能反映面上的情况。由图可见，模较大的频率成分周期分布在0.13~0.26之间，也就是频率在4~8之间，我们选择N=256项进行分析完全够用。由于图形是对称的，只看前半部分，128项，分析占总数约10%的成份，即分析12个主要频率。操作：
按顺序选择256项数据，并求平均数，进行中心化平均，使均值为0；
利用“傅利叶分析”工具求得快速傅利叶变换；
选择一半的数据
l 利用“=IMABS”求得复数的模。
l 从第2项开始从1进行编号；以编号值除256得周期序列。
l 将周期序列求倒数得频率。
l 以频率为横坐标、模为纵坐标绘制频率分布图：
图9 选择256个样本数据，显示快速傅利叶变换的前半部分
利用“=IMREAL”函数提取实部，用“=IMAGINARY”函数提取虚部，形成序列值。
筛选主要成分。
l 在L列输入第k大的顺序号；
l在M列输入“=LARGE”提取第k大傅利叶变换的模；
l在N列输入：“=MATCH”提取第k大的顺序号；
l 在O列输入：“=INDEX”提取第k大的实部；
l 在P列输入：“=INDEX”提取第k大的虚部；
l 在Q列输入：“=INDEX”提取第k大的频率。
图10 主要频率成分提取
于是得函数主要成分的傅利叶级数中的主成分：
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