9的加法大班数学教案专题之大数加减乘除，一文彻底搞定

【CSDN编辑】最近面试中经常出现大量的运算，在编写代码的过程中也经常涉及到相对较大数量的运算，如果超出了程序基本类型可以表示的范围，就会发生溢出，整形等加法乘法无法再实现。这时需要自己编写程序。

作者 | bigsai 责编 | 欧阳姝黎

前言

各位有过分类刷题的小伙伴，可能看到很多人分类字符串、贪心、动态规划、bfs、dfs、大数、数论等，初听大数，你可能会差异：大数是个啥？听起来怪高大上的。

这个数字一般用字符串、链表等形式表示、返回，大数运算的核心就是：模拟，模拟我们日常用纸笔算数字的加减乘除流程，然后再根据计算机、编程语言等特性适当存储计算即可，不过，大数除法运算稍微特殊一点，和我们直接模拟的思维方式稍有不同，它就是转换了一下成特殊的加减法运算，后面会细谈。

大数加法

大数加法是最简单的，简单模拟即可。首先，我们想一下两个数加法的流程：从右向左计算求和、进位，一直到最后。

在编程语言中同样也是模拟从右向左逐位相加的过程，不过在具体实现上需要注意一些细节。

枚举字符串将其转换成 char提高效率
从右往左进行计算，可以将结果放到一个数组中最后组成字符串，也可以使用 StringBuider 拼接，拼接的时候最后要逆置一下顺序。
余数每次叠加过需要清零，两数相加如果大于等于 10 即有余数，添加到结果中该位置的数也应该是该数 %10 的结果。
计算完最后还要看看余数是否为1，如果为1需要将其添加到结果，例如 "991"+"11"算三个位置为002但还有一个余数需要添加，所以应该是1002。

一个加法流程

当然在具体实现上方法较多，你可以首先就将字符串逆置然后从前往后就可以计算了。当然我这里实现的是字符串从后向前各个位对应计算，然后将结果顺序添加到 StringBuilder 上。

这题在力扣【415两数相加】可以检验自己代码，实现代码为：

public String addStrings(String num1, String num2) {
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int len1=num1.length-1,len2=num2.length-1;
char ch1=num1.toCharArray;
char ch2=num2.toCharArray;

StringBuilder sb=new StringBuilder;
int remainder =0;//计算余数
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
int num=n1+n2+remainder;//求和对应数字
remainder=num/10;//是否进位
(num%10);// 添加到结果字符串中
}

if(remainder>0)//是否还需要进位
{
(remainder);
}
//反装即为结果
return ;
}

大数减法

加法对应的就是减法，有了上面大数加法的实现思路，那么我想你在大数减法也应该有点想法，但是减法和加法不同的是减法有位置的区别，加法需要进位而减法需要借位。并且大整正数减法可能产生正负也不一定。

两个正数，如果大数减去小数，那么一切正常，结果是一个正数；但如果小数减去大数，那么结果将是一个负数，并且结果处理起来比较麻烦。所以在这里全部转成大-小处理(大-小不存在不能借位的情况)。

减法转成大-小

执行计算前首先比较减数(num1)和被减数(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模拟num1-num2的过程，如果num1<num2，那么结果就为-(num2-num1) 。当然可以为了稳定模拟时候一个大一个小，可将 num1 始终指向较大的那个数，少写一个 if/else.
在比较两个数字大小的时候，因为是字符形式，首先比较两个字符串的长度，长的那个更大短的那个更小，如果两个字符串等大，那么就可以通过字典序从前往后进行比较(Java 可直接使用 compareTo 方法)。
和加法不同的是，减法前面可能产生若干前缀 0，这些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"计算得到的结果为"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。
具体实现的时候和加法相似，如果使用 StringBuilder 存储，需要逆置顺序，如果是个负数，前面还要加上'-'.
每个位置正常进行减法运算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么处理上一位进行减法时候还要将借位的处理一下。

这题在力扣上没有原题，但是可以在小米 OJ【大数相减】上验证自己代码的正确性，具体实现的代码为：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
i;num2.length)
return false;
else i;num2.length)
return true;
else
return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static String subtractString(String num1,String num2) {
char sign='+';//正负号
//让num1>num2 如果num1<num2 那么结果就是—(num2-num1)
//可以先将num1和num2交换和前面情况统一
if(!compare(num1,num2))
{
sign='-';
String team = num2;
num2 = num1;
num1 = team;
}
int len1=num1.length-1;
int len2=num2.length-1;

char ch1 = num1.toCharArray;
char ch2 = num2.toCharArray;
StringBuilder sb=new StringBuilder;
int borrow=0;//借位
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

int num=n1-n2-borrow;
borrow=0;
if(num<0)//需要向前借位
{
borrow=1;
num+=10;
}
(num);
}

sb=;//需要先翻转
int index = 0;//去掉前面没用的’0‘
while (index<;&(index) == '0')
{
index++;
}
//如果两个数相同 直接返回"0"
if(index==)
return "0";
if(sign=='+')//如果正数
return (index);
else return sign+(index);//负数需要返回
}

大数乘法

大数乘法乍一想可能比较复杂，因为乘法比起加法可能进位不光是1，还有两个数各种位置都需要相乘计算，这时候就需要我们化繁为简了。

多*多考虑起来可能有些麻烦，但是如果多*一考虑起来呢？如果是多位乘以一位数，那么就拿一位的分别乘以多位数的个位、十位、百位，在计算的同时考虑一下进位的情况。

但是也可以先直接用 int 类型数组存储各位的乘积然后从右向左进行进位，如下图所示。

而多*多也是这个道理，将不同位乘积先叠加到对应位置上，然后从右向左进位，一直到不需要进位为止。

一个乘法流程

你可能会疑问，如果两个数组的长度分别为a和b这个数组到底该开多大呢？

a+b大小就够了，怎么分析呢？其中一个a不变。另一个b变成最小b+1数字即十的倍数，那么这样在相乘的时候也不过是a+b长度，所以这里a+b长度就够了。

这题有力扣对应题可以去试试【43字符串相乘】，具体代码为：

public String multiply(String num1, String num2) {
if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
char a=num1.toCharArray;
char b=num2.toCharArray;

int value=new int[a.length+b.length];

for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
{
for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
{
int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
}
}
for(int i=0;i<value.length-1;i++)
{
value[i+1]+=value[i]/10;
value[i]=value[i]%10;
}
int index=value.length-1;
while(value[index]==0)
{index--;}
StringBuilder sBuilder=new StringBuilder;
while (index>=0) {
(value[index--]);
}
return ;
}

大数除法

大数加减乘都搞定了，通过模拟来实现，但是大数除法也通过模拟来实现？

并不是，对于大数a/b，一般最多要求求到其整数解或者余数，即a/b=c……d（a,b,c,d均为整）;也就是a里面有c个b，并且还剩下d。核心是先求c是多少，对于程序来说，可以通过枚举啊，将除法变成减法，从a中不断减d，一直到不能减为止。

除法转成减法运算

但是有个问题，如果被除数a很大很大，可能有居多个b，那么这样时间复杂度太高了，不可能执行那么多次，那么需要怎么样去优化这个方法呢？

那就要加速寻找次数，减少这个减法的次数了，减法次数减小的一个最好方案就是能不能扩大除数b。如果b后面加个'0'，那么算出来的结果就乘以10，减法的次数变成原来十分之一。根据这个思想我们可以一直每次找到b的最大10的倍数(小于a)计算减的次数再换算成减b的总词数，将结果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后为止,这虽然是一道除法运算的题，但是也蕴含减法和加法(次数叠加到结果中)。

计算思想

当然，也有一些人使用二分法来压缩寻找可以被减的次数也是可以的(加法可以迭代数字实现二分倍数)，具体实现的话也不是很困难，但是代码量可能比较多所以一般的面试笔试不会让你现场写的，所以好好掌握前面的减法、减法、乘法的代码即可。

这部分代码我也简单给一下(其他函数上面贴过就不重复贴啦)：

//假设 num1>num2
public static String divideString(String num1,String num2)
{
String value="0";//结果
while (compare(num1,num2))
{
StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用这个往后面不断加0 和num做减法
StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次数 可能很大
int subLen=num1.leng;//统计大概要加几个零
for(int i=0;i<subLen;i++)
{
('0');
('0');
}
//如果0 加多了 那么要删一个 类似"12300" / "23" "12300"比"23000"小
//所以要 "2300" 对应比"23"扩大 "100"倍数，每减一次"2300" 则结果加"100"
if(!compare(num1,))
{
sbTeam=);
sbCount=);
}
// 一直能减的时候
while (compare(num1,))
{
num1=subtractString(num1,);
value=addString);
}
}
return value;
}

简单测试了下，正确性还是ok的：

除法测试

番外篇

除了上面直接的大数加减乘除，还有一些变形的题目需要我们特殊处理一下，比如可能会使用链表等存储处理，下面分享两道题。

两数相加(力扣02)

题目描述：

给你两个非空的链表，表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照逆序的方式存储的，并且每个节点只能存储一位数字。请你将两个数相加，并以相同形式返回一个表示和的链表
你可以假设除了数字 0 之外，这两个数都不会以 0 开头。

img

提示：

每个链表中的节点数在范围 [1, 100] 内
0 <= Node.val <= 9
题目数据保证列表表示的数字不含前导零

本题其实就是用一个链表存储一个数字(逆序存储)，你需要给它计算出结果后在逆序存储到一个链表中返回。

所谓加法的运算规则：从两个数的最低位进行计算，进行到下一位的时候需要考虑进位问题。一直到最后，而本题所给的链表刚好可以用来直接计算，因为链表头都是数字最低位可以直接相加，然后一直遍历到结束。可以用一个常数表示进位。

在具体实现(链表)的时候：

创建新的链表，每次将计算的数值插入到链表尾部即可。
需要准确表示进位，并且最后要考虑以下进位
妥善返回正确节点，可以用一个头节点用来使得所有节点都正常操作，而不需要特殊判断。通过代码第一次比较啰嗦的写法：

当然，如果你遍历链表把各个数字取出来，使用字符串、数字转换然后相加得到一个数字，最后在转成字符串、链表的理论可以，可以自行实现。

优化后的代码为：

 //更简洁的写法
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
ListNode node=new ListNode(0);
ListNode team=node;
int jin=0;//进位
while(l1!=||l2!=)
{
int num=jin;
if(l1!=)
{
num+=l1.val;l1=l1.next;
}
if(l2!=)
{
num+=l2.val;l2=l2.next;
}
jin=num/10;
num%=10;
 ListNode(num);
team=;

}
if(jin!=0) ListNode(jin);
return node.next;
}

两数相加2(力扣445)

题目描述：

给你两个非空链表来代表两个非负整数。数字最高位位于链表开始位置。它们的每个节点只存储一位数字。将这两数相加会返回一个新的链表。
你可以假设除了数字 0 之外，这两个数字都不会以零开头。
进阶：如果输入链表不能修改该如何处理？换句话说，你不能对列表中的节点进行翻转。

示例：

输入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)
输出：7 -> 8 -> 0 -> 7

本题的话和上面不一样链表不是逆置的，但是加法运算其实需要从最后面对齐开始，也就是理论上应该从链表尾部开始向前，但是这是个单链表，这样运算的话时间复杂度太高，所以我们要用空间换时间：用栈来解决。

将链表的节点依次放到两个栈中，然后两个栈同时取数计算。但是待返回的是个链表，所以采取头插法即可(如果不头插最后反转也可)，具体流程可以参考如下图：

逻辑

实现代码为：

/**
* Definition for singly-linked list.
* public class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
Stack<Integer>stack1=new Stack<>;
Stack<Integer>stack2=new Stack<>;
while (l1!=)
{
);
l1=l1.next;
}
while (l2!=)
{
);
l2=l2.next;
}
ListNode val=new ListNode(0);//带头结点
int moreadd=0;//余数
while (!||!||moreadd!=0)
{
int num=moreadd;//num=余数+链表1+链表2
if(!)
num+=;
if(!)
num+=;
moreadd=num/10;
num=num%10;
//链表头插
ListNode node=new ListNode(num);
node.next=val.next;
val.next=node;
}
return val.next;
}
}